Precálculo Ejemplos

${(\sqrt{3} + i)}^{6}$

Paso 1

Usa el teorema del binomio.

${\sqrt{3}}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2

Simplifica los términos.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe ${\sqrt{3}}^{6}$ como $3^{3}$ .

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$3^{\frac{6}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$3^{\frac{3}{1}} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3^{3} + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 6 {\sqrt{3}}^{5} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.3

Reescribe ${\sqrt{3}}^{5}$ como $\sqrt{3^{5}}$ .

$27 + 6 \sqrt{3^{5}} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $5$ .

$27 + 6 \sqrt{243} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.5

Reescribe $243$ como $9^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.5.1

Factoriza $81$ de $243$ .

$27 + 6 \sqrt{81 (3)} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe $81$ como $9^{2}$ .

$27 + 6 \sqrt{9^{2} \cdot 3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$27 + 6 (9 \sqrt{3}) i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.7

Multiplica $9$ por $6$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8

Reescribe ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

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Paso 2.1.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{4}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.1.8.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.8.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8.4.2.2

Cancela el factor común.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8.4.2.3

Reescribe la expresión.

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{1}} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.8.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{2} i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 15 \cdot 9 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.10

Multiplica $15$ por $9$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 i^{2} + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.11

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i + 135 \cdot - 1 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.12

Multiplica $135$ por $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 {\sqrt{3}}^{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.13

Reescribe ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{3}} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.14

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{27} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.15

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 2.1.15.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{9 (3)} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.15.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 \sqrt{3^{2} \cdot 3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.16

Retira los términos de abajo del radical.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 20 (3 \sqrt{3}) i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.17

Multiplica $3$ por $20$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} i^{3} + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.18

Factoriza $i^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (i^{2} \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.19

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- 1 \cdot i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.20

Reescribe $- 1 i$ como $- i$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 + 60 \sqrt{3} (- i) + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.21

Multiplica $- 1$ por $60$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {\sqrt{3}}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.22

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.22.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.22.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.22.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.22.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.22.4.1

Cancela el factor común.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{\frac{2}{2}} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.22.4.2

Reescribe la expresión.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3^{1} i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.22.5

Evalúa el exponente.

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 15 \cdot 3 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.23

Multiplica $15$ por $3$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 i^{4} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.24

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.24.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(i^{2})}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.24.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 {(- 1)}^{2} + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.24.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 \cdot 1 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.25

Multiplica $45$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i^{5} + i^{6}$

Paso 2.1.26

Factoriza $i^{4}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (i^{4} i) + i^{6}$

Paso 2.1.27

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.27.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(i^{2})}^{2} i) + i^{6}$

Paso 2.1.27.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} ({(- 1)}^{2} i) + i^{6}$

Paso 2.1.27.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} (1 i) + i^{6}$

Paso 2.1.28

Multiplica $i$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{6}$

Paso 2.1.29

Factoriza $i^{4}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{4} i^{2}$

Paso 2.1.30

Reescribe $i^{4}$ como $1$ .

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Paso 2.1.30.1

Reescribe $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(i^{2})}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.30.2

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + {(- 1)}^{2} i^{2}$

Paso 2.1.30.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + 1 i^{2}$

Paso 2.1.31

Multiplica $i^{2}$ por $1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i + i^{2}$

Paso 2.1.32

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$27 + 54 \sqrt{3} i - 135 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Paso 2.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1

Resta $135$ de $27$ .

$54 \sqrt{3} i - 108 - 60 \sqrt{3} i + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Paso 2.2.2

Resta $60 \sqrt{3} i$ de $54 \sqrt{3} i$ .

$- 6 \sqrt{3} i - 108 + 45 + 6 \sqrt{3} i - 1$

Paso 2.2.3

Suma $- 6 \sqrt{3} i$ y $6 \sqrt{3} i$ .

$0 - 108 + 45 - 1$

Paso 2.2.4

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.4.1

Resta $108$ de $0$ .

$- 108 + 45 - 1$

Paso 2.2.4.2

Suma $- 108$ y $45$ .

$- 63 - 1$

Paso 2.2.4.3

Resta $1$ de $- 63$ .

$- 64$

Paso 3

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 4

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 5

Sustituye los valores reales de $a = - 64$ y $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + {(- 64)}^{2}}$

Paso 6

Obtén $| z |$ .

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Paso 6.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + {(- 64)}^{2}}$

Paso 6.2

Eleva $- 64$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 4096}$

Paso 6.3

Suma $0$ y $4096$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Paso 6.4

Reescribe $4096$ como $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Paso 6.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 64$

Paso 7

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{0}{- 64})$

Paso 8

Como la tangente inversa de $\frac{0}{- 64}$ produce un ángulo en el segundo cuadrante, el valor del ángulo es $π$ .

$θ = π$

Paso 9

Sustituye los valores de $θ = π$ y $| z | = 64$ .

$64 (\cos (π) + i \sin (π))$