Precálculo Ejemplos

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Paso 2

Factoriza.

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Paso 2.1

Reescribe $\cos^{4} (θ)$ como ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Paso 2.2

Reescribe $\sin^{4} (θ)$ como ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Paso 2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos^{2} (θ)$ y $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reorganiza los términos.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Paso 2.4.2

Aplica la identidad pitagórica.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Paso 2.4.3

Multiplica $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ por $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Paso 2.4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (θ)$ y $b = \sin (θ)$ .

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Paso 4.1.2

Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 4.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Paso 4.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Paso 4.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Paso 4.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Paso 4.1.4

Multiplica $\sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Paso 4.1.4.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

Paso 4.1.4.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

Paso 4.1.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Paso 4.1.4.4

Suma $1$ y $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

Paso 4.2

Suma $\cos (θ) \sin (θ)$ y $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

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Paso 4.2.1

Reordena $\cos (θ)$ y $- 1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

Paso 4.2.2

Resta $\cos (θ) \sin (θ)$ de $\cos (θ) \sin (θ)$ .

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

Paso 4.3

Suma ${\cos (θ)}^{2}$ y $0$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Paso 6

Resta ${\sin (θ)}^{2}$ de $- {\sin (θ)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Paso 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ es una identidad