Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} + 4 y^{2} - 24 x + 8 y - 60 = 0$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 24 x + 8 (0) - 60 = 0$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Simplifica $4 x^{2} + 4 {(0)}^{2} - 24 x + 8 (0) - 60$ .

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Paso 1.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x^{2} + 4 \cdot 0 - 24 x + 8 (0) - 60 = 0$

Paso 1.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 24 x + 8 (0) - 60 = 0$

Paso 1.2.1.1.3

Multiplica $8$ por $0$ .

$4 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 60 = 0$

Paso 1.2.1.2

Combina los términos opuestos en $4 x^{2} + 0 - 24 x + 0 - 60$ .

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Paso 1.2.1.2.1

Suma $4 x^{2}$ y $0$ .

$4 x^{2} - 24 x + 0 - 60 = 0$

Paso 1.2.1.2.2

Suma $4 x^{2} - 24 x$ y $0$ .

$4 x^{2} - 24 x - 60 = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $4$ de $4 x^{2} - 24 x - 60$ .

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Paso 1.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) - 24 x - 60 = 0$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $4$ de $- 24 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (- 6 x) - 60 = 0$

Paso 1.2.2.3

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$4 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Paso 1.2.2.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (- 6 x)$ .

$4 (x^{2} - 6 x) + 4 \cdot - 15 = 0$

Paso 1.2.2.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} - 6 x) + 4 \cdot - 15$ .

$4 (x^{2} - 6 x - 15) = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $4 (x^{2} - 6 x - 15) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $4 (x^{2} - 6 x - 15) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{2} - 6 x - 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{2} - 6 x - 15)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x^{2} - 6 x - 15$ por $1$ .

$x^{2} - 6 x - 15 = \frac{0}{4}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} - 6 x - 15 = 0$

Paso 1.2.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 6$ y $c = - 15$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 15)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Suma $36$ y $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $96$ como $4^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{6}$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Suma $36$ y $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $96$ como $4^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.7.1.4.1

Factoriza $16$ de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{6}$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 3 + 2 \sqrt{6}$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.8.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 15$ .

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Paso 1.2.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 15}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 15$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 60}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.3

Suma $36$ y $60$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.4

Reescribe $96$ como $4^{2} \cdot 6$ .

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Paso 1.2.8.1.4.1

Factoriza $16$ de $96$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$

Paso 1.2.8.3

Simplifica $\frac{6 \pm 4 \sqrt{6}}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 \sqrt{6}$

Paso 1.2.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 3 - 2 \sqrt{6}$

Paso 1.2.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 3 + 2 \sqrt{6}, 3 - 2 \sqrt{6}$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(3 + 2 \sqrt{6}, 0), (3 - 2 \sqrt{6}, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 24 \cdot 0 + 8 y - 60 = 0$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Simplifica $4 {(0)}^{2} + 4 y^{2} - 24 \cdot 0 + 8 y - 60$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 \cdot 0 + 4 y^{2} - 24 \cdot 0 + 8 y - 60 = 0$

Paso 2.2.1.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + 4 y^{2} - 24 \cdot 0 + 8 y - 60 = 0$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica $- 24$ por $0$ .

$0 + 4 y^{2} + 0 + 8 y - 60 = 0$

Paso 2.2.1.2

Combina los términos opuestos en $0 + 4 y^{2} + 0 + 8 y - 60$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $0$ y $4 y^{2}$ .

$4 y^{2} + 0 + 8 y - 60 = 0$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $4 y^{2}$ y $0$ .

$4 y^{2} + 8 y - 60 = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 8 y - 60$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Factoriza $4$ de $4 y^{2}$ .

$4 (y^{2}) + 8 y - 60 = 0$

Paso 2.2.2.1.2

Factoriza $4$ de $8 y$ .

$4 (y^{2}) + 4 (2 y) - 60 = 0$

Paso 2.2.2.1.3

Factoriza $4$ de $- 60$ .

$4 y^{2} + 4 (2 y) + 4 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.2.1.4

Factoriza $4$ de $4 y^{2} + 4 (2 y)$ .

$4 (y^{2} + 2 y) + 4 \cdot - 15 = 0$

Paso 2.2.2.1.5

Factoriza $4$ de $4 (y^{2} + 2 y) + 4 \cdot - 15$ .

$4 (y^{2} + 2 y - 15) = 0$

Paso 2.2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.2.1

Factoriza $y^{2} + 2 y - 15$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 15$ y cuya suma es $2$ .

$- 3, 5$

Paso 2.2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$4 ((y - 3) (y + 5)) = 0$

Paso 2.2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$4 (y - 3) (y + 5) = 0$

Paso 2.2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

$y + 5 = 0$

Paso 2.2.4

Establece $y - 3$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.2.4.1

Establece $y - 3$ igual a $0$ .

$y - 3 = 0$

Paso 2.2.4.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 3$

Paso 2.2.5

Establece $y + 5$ igual a $0$ y resuelve $y$ .

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Paso 2.2.5.1

Establece $y + 5$ igual a $0$ .

$y + 5 = 0$

Paso 2.2.5.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - 5$

Paso 2.2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $4 (y - 3) (y + 5) = 0$ verdadera.

$y = 3, - 5$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, 3), (0, - 5)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(3 + 2 \sqrt{6}, 0), (3 - 2 \sqrt{6}, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, 3), (0, - 5)$

Paso 4