Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 9 y^{2} + 2 x - 54 y - 80 = 0$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores $a = - 9$ , $b = - 54$ y $c = x^{2} + 2 x - 80$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{54 \pm \sqrt{{(- 54)}^{2} - 4 \cdot (- 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80))}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Eleva $- 54$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.4

Simplifica.

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Paso 1.3.1.4.1

Multiplica $2$ por $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $36$ por $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.5

Resta $2880$ de $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6

Reescribe $36 x^{2} + 72 x + 36$ en forma factorizada.

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Paso 1.3.1.6.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

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Paso 1.3.1.6.1.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6.1.2

Factoriza $36$ de $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6.1.3

Factoriza $36$ de $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6.1.4

Factoriza $36$ de $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6.1.5

Factoriza $36$ de $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.3.1.6.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.3.1.6.2.3

Reescribe el polinomio.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.6.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.7

Reescribe $36 {(x + 1)}^{2}$ como ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.1.10

Multiplica $6$ por $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Paso 1.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Eleva $- 54$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1.4.1

Multiplica $2$ por $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $36$ por $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.5

Resta $2880$ de $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6

Reescribe $36 x^{2} + 72 x + 36$ en forma factorizada.

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Paso 1.4.1.6.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

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Paso 1.4.1.6.1.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6.1.2

Factoriza $36$ de $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6.1.3

Factoriza $36$ de $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6.1.4

Factoriza $36$ de $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6.1.5

Factoriza $36$ de $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.4.1.6.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.4.1.6.2.3

Reescribe el polinomio.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.6.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.7

Reescribe $36 {(x + 1)}^{2}$ como ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.1.10

Multiplica $6$ por $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Paso 1.4.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Paso 1.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - \frac{54 + 6 x + 6}{18}$

Paso 1.4.5

Cancela el factor común de $54 + 6 x + 6$ y $18$ .

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Paso 1.4.5.1

Factoriza $6$ de $54$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 x + 6}{18}$

Paso 1.4.5.2

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6}{18}$

Paso 1.4.5.3

Factoriza $6$ de $6$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x) + 6 (1)}{18}$

Paso 1.4.5.4

Factoriza $6$ de $6 (x) + 6 (1)$ .

$y = - \frac{6 \cdot 9 + 6 (x + 1)}{18}$

Paso 1.4.5.5

Factoriza $6$ de $6 \cdot 9 + 6 (x + 1)$ .

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{18}$

Paso 1.4.5.6

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.5.6.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 (3)}$

Paso 1.4.5.6.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{6 \cdot (9 + x + 1)}{6 \cdot 3}$

Paso 1.4.5.6.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{9 + x + 1}{3}$

Paso 1.4.6

Suma $9$ y $1$ .

$y = - \frac{x + 10}{3}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Eleva $- 54$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 - 4 \cdot - 9 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $- 4$ por $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 \cdot (x^{2} + 2 x - 80)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 36 (2 x) + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.4

Simplifica.

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Paso 1.5.1.4.1

Multiplica $2$ por $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x + 36 \cdot - 80}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $36$ por $- 80$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{2916 + 36 x^{2} + 72 x - 2880}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.5

Resta $2880$ de $2916$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 x^{2} + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6

Reescribe $36 x^{2} + 72 x + 36$ en forma factorizada.

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Paso 1.5.1.6.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2} + 72 x + 36$ .

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Paso 1.5.1.6.1.1

Factoriza $36$ de $36 x^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 72 x + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6.1.2

Factoriza $36$ de $72 x$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6.1.3

Factoriza $36$ de $36$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2}) + 36 (2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6.1.4

Factoriza $36$ de $36 (x^{2}) + 36 (2 x)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6.1.5

Factoriza $36$ de $36 (x^{2} + 2 x) + 36 (1)$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1)}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6.2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.5.1.6.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 x + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6.2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Paso 1.5.1.6.2.3

Reescribe el polinomio.

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.6.2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{36 {(x + 1)}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.7

Reescribe $36 {(x + 1)}^{2}$ como ${(6 (x + 1))}^{2}$ .

$y = \frac{54 \pm \sqrt{{(6 (x + 1))}^{2}}}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = \frac{54 \pm 6 (x + 1)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.9

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6 \cdot 1)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.1.10

Multiplica $6$ por $1$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{2 \cdot - 9}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $- 9$ .

$y = \frac{54 \pm (6 x + 6)}{- 18}$

Paso 1.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{54 \pm (6 x + 6)}{18}$

Paso 1.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - \frac{54 - (6 x + 6)}{18}$

Paso 1.5.5

Cancela el factor común de $54 - (6 x + 6)$ y $18$ .

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Paso 1.5.5.1

Reescribe $54$ como $- 1 (- 54)$ .

$y = - \frac{- 1 \cdot - 54 - (6 x + 6)}{18}$

Paso 1.5.5.2

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 54) - (6 x + 6)$ .

$y = - \frac{- 1 (- 54 + 6 x + 6)}{18}$

Paso 1.5.5.3

Factoriza $6$ de $- 1 (- 54 + 6 x + 6)$ .

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{18}$

Paso 1.5.5.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.5.5.4.1

Factoriza $6$ de $18$ .

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 (3)}$

Paso 1.5.5.4.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{6 (- 1 (- 9 + x + 1))}{6 \cdot 3}$

Paso 1.5.5.4.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{- 1 (- 9 + x + 1)}{3}$

Paso 1.5.6

Suma $- 9$ y $1$ .

$y = - \frac{- 1 (x - 8)}{3}$

Paso 1.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{x - 8}{3}$

Paso 1.5.8

Multiplica $- - \frac{x - 8}{3}$ .

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Paso 1.5.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 (\frac{x - 8}{3})$

Paso 1.5.8.2

Multiplica $\frac{x - 8}{3}$ por $1$ .

$y = \frac{x - 8}{3}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

$y = - \frac{x + 10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Paso 2

Para escribir un polinomio en una ecuación ordinaria, simplifica y luego organiza los términos en orden descendente.

$y = a x^{2} + b x + c$

Paso 3

Divide la fracción $\frac{x + 10}{3}$ en dos fracciones.

$y = - (\frac{x}{3} + \frac{10}{3})$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Paso 4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x - 8}{3}$

Paso 5

Divide la fracción $\frac{x - 8}{3}$ en dos fracciones.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x}{3} - \frac{10}{3}$

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 7

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{3} x) - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Paso 8

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{10}{3}$

$y = \frac{1}{3} x - \frac{8}{3}$

Paso 9