Precálculo Ejemplos

$y^{2} + 2 y + x^{2} - 24 x = 14$

Paso 1

Completa el cuadrado de $y^{2} + 2 y$ .

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Paso 1.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Paso 1.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.4.2.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.4.2.1.3.1

Cancela el factor común.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Paso 1.4.2.1.3.2

Reescribe la expresión.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Paso 1.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Paso 1.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Paso 1.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Paso 2

Sustituye ${(y + 1)}^{2} - 1$ por $y^{2} + 2 y$ en la ecuación $y^{2} + 2 y + x^{2} - 24 x = 14$ .

${(y + 1)}^{2} - 1 + x^{2} - 24 x = 14$

Paso 3

Mueve $- 1$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $1$ a ambos lados.

${(y + 1)}^{2} + x^{2} - 24 x = 14 + 1$

Paso 4

Completa el cuadrado de $x^{2} - 24 x$ .

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Paso 4.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = - 24$

$c = 0$

Paso 4.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 4.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2

Cancela el factor común de $- 24$ y $2$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $2$ de $- 24$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1}$

Paso 4.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 12}{1}$

Paso 4.3.2.2.4

Divide $- 12$ por $1$ .

$d = - 12$

Paso 4.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 4.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.2.1.1

Eleva $- 24$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 1}$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{576}{4}$

Paso 4.4.2.1.3

Divide $576$ por $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Paso 4.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Paso 4.4.2.2

Resta $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Paso 4.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x - 12)}^{2} - 144$ .

${(x - 12)}^{2} - 144$

Paso 5

Sustituye ${(x - 12)}^{2} - 144$ por $x^{2} - 24 x$ en la ecuación $y^{2} + 2 y + x^{2} - 24 x = 14$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 12)}^{2} - 144 = 14 + 1$

Paso 6

Mueve $- 144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

${(y + 1)}^{2} + {(x - 12)}^{2} = 14 + 1 + 144$

Paso 7

Simplifica $14 + 1 + 144$ .

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Paso 7.1

Suma $14$ y $1$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 12)}^{2} = 15 + 144$

Paso 7.2

Suma $15$ y $144$ .

${(y + 1)}^{2} + {(x - 12)}^{2} = 159$