Precálculo Ejemplos

$y^{2} - 2 x - 10 y + 21 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x - 10 y + 21 = - y^{2}$

Paso 1.1.1.2

Suma $10 y$ a ambos lados de la ecuación.

$- 2 x + 21 = - y^{2} + 10 y$

Paso 1.1.1.3

Resta $21$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - y^{2} + 10 y - 21$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $- 2 x = - y^{2} + 10 y - 21$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - y^{2} + 10 y - 21$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{10 y}{- 2} + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{10 y}{- 2} + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 2} + \frac{10 y}{- 2} + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{10 y}{- 2} + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $10$ y $- 2$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $10 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (5 y)}{- 2} + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{5 y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 1 \cdot (5 y) + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Reescribe $- 1 \cdot (5 y)$ como $- (5 y)$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - (5 y) + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.1.4

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 5 y + \frac{- 21}{- 2}$

Paso 1.1.2.3.1.5

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{y^{2}}{2} - 5 y + \frac{21}{2}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{y^{2}}{2} - 5 y + \frac{21}{2}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 5$

$c = \frac{21}{2}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{- 5}{\frac{2}{2}}$

Paso 1.2.3.2.2

Divide $2$ por $2$ .

$d = \frac{- 5}{1}$

Paso 1.2.3.2.3

Divide $- 5$ por $1$ .

$d = - 5$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{21}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{21}{2} - \frac{25}{4 (\frac{1}{2})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{21}{2} - \frac{25}{\frac{4}{2}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $2$ .

$e = \frac{21}{2} - \frac{25}{2}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{21 - 25}{2}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $25$ de $21$ .

$e = \frac{- 4}{2}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $- 4$ por $2$ .

$e = - 2$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{2} {(y - 5)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} {(y - 5)}^{2} - 2$

Paso 1.3

Establece $x$ igual al nuevo lado derecho.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 5)}^{2} - 2$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = 5$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 5)$

Paso 4