Precálculo Ejemplos

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x - 5 = 0$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la elipse.

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Paso 1.1

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $4 x^{2} + 8 x$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 1.2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.3.2.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{4}{4}$

Paso 1.2.3.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = 1$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Paso 1.2.4.2.2

Resta $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Paso 1.3

Sustituye $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ por $4 x^{2} + 8 x$ en la ecuación $4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + y^{2} = 5$

Paso 1.4

Mueve $- 4$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $4$ a ambos lados.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5 + 4$

Paso 1.5

Suma $5$ y $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 9$

Paso 1.6

Divide cada término por $9$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Paso 1.7

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = - 1$

Paso 4

El centro de una elipse sigue la forma de $(h, k)$ . Sustituye los valores de $h$ y $k$ .

$(- 1, 0)$

Paso 5

Obtén $c$ , la distancia desde el centro hasta un foco.

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Paso 5.1

Obtén la distancia desde el centro hasta un foco de la elipse con la siguiente fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Paso 5.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 5.3

Simplifica.

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Paso 5.3.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 5.3.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Paso 5.3.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

Paso 5.3.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

Paso 5.3.5

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Paso 5.3.6

Combina $9$ y $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Paso 5.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

Paso 5.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.8.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

Paso 5.3.8.2

Resta $9$ de $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

Paso 5.3.9

Reescribe $\sqrt{\frac{27}{4}}$ como $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.10

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.10.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 5.3.10.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.10.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.3.11

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.11.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.3.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Paso 6

Obtén los vértices.

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Paso 6.1

El primer vértice de una elipse puede obtenerse al sumar $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Paso 6.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 0 + 3)$

Paso 6.3

Simplifica.

$(- 1, 3)$

Paso 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Paso 6.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $a$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 0 - (3))$

Paso 6.6

Simplifica.

$(- 1, - 3)$

Paso 6.7

Las elipses tienen dos vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

Paso 7

Obtén los focos.

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Paso 7.1

El primer foco de una elipse puede obtenerse al sumar $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Paso 7.2

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Paso 7.3

Simplifica.

$(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Paso 7.4

El primer foco de una elipse puede obtenerse al restar $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Paso 7.5

Sustituye los valores conocidos de $h$ , $c$ y $k$ en la fórmula.

$(- 1, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

Paso 7.6

Simplifica.

$(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Paso 7.7

Las elipses tienen dos focos.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Paso 8

Obtén la excentricidad.

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Paso 8.1

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 8.2

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Paso 8.3.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

Paso 8.3.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

Paso 8.3.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.5

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.6

Combina $9$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.8

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.8.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.8.2

Resta $9$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.9

Reescribe $\sqrt{\frac{27}{4}}$ como $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.10

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.10.1

Reescribe $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

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Paso 8.3.1.10.1.1

Factoriza $9$ de $27$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.10.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.10.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Paso 8.3.1.11

Simplifica el denominador.

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Paso 8.3.1.11.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

Paso 8.3.1.11.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

Paso 8.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 8.3.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 8.3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Paso 8.3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 9

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de una elipse.

Centro: $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Excentricidad: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 10