Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 6 x + 3 y - 12 = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x + 3 y - 12 = - x^{2}$

Paso 1.1.1.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y - 12 = - x^{2} - 6 x$

Paso 1.1.1.3

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y = - x^{2} - 6 x + 12$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $3 y = - x^{2} - 6 x + 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $3 y = - x^{2} - 6 x + 12$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 6 x}{3} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $- 6$ y $3$ .

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Paso 1.1.2.3.1.2.1

Factoriza $3$ de $- 6 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.2.3.1.2.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3 (1)} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- 2 x)}{3 \cdot 1} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2.4

Divide $- 2 x$ por $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - 2 x + \frac{12}{3}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Divide $12$ por $3$ .

$y = - \frac{x^{2}}{3} - 2 x + 4$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $- \frac{x^{2}}{3} - 2 x + 4$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$b = - 2$

$c = 4$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.2.3.2.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$d = \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Paso 1.2.3.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = 1 \cdot 3$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$d = 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$e = 4 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.4.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$e = 4 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Paso 1.2.4.2.1.2.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{3}$ .

$e = 4 - \frac{4}{\frac{- 4}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e = 4 - \frac{4}{- \frac{4}{3}}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 4 - (4 (- \frac{3}{4}))$

Paso 1.2.4.2.1.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.4.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{4}$ al numerador.

$e = 4 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Paso 1.2.4.2.1.5.2

Cancela el factor común.

$e = 4 - (4 (\frac{- 3}{4}))$

Paso 1.2.4.2.1.5.3

Reescribe la expresión.

$e = 4 - - 3$

Paso 1.2.4.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$e = 4 + 3$

Paso 1.2.4.2.2

Suma $4$ y $3$ .

$e = 7$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} + 7$ .

$- \frac{1}{3} {(x + 3)}^{2} + 7$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x + 3)}^{2} + 7$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = - \frac{1}{3}$

$h = - 3$

$k = 7$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, 7)$

Paso 4