Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x \leq 125$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x = 125$

Paso 2

Resta $125$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125 = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125 = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5) = 0$

Paso 3.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - 25) = 0$

Paso 3.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(x + 5) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Paso 3.4

Factoriza.

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Paso 3.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(x + 5) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 3.5

Combina exponentes.

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Paso 3.5.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 3.5.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 3.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Paso 3.5.4

Suma $1$ y $1$ .

${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 5

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve ${(x + 5)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 5.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 6

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 6.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen ${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = - 5, 5$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 8$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 8$ en la desigualdad original.

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 \leq 125$

Paso 9.1.3

$8$ del lado izquierdo es menor que $125$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 5 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 5 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 \leq 125$

Paso 9.2.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $125$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{3} + 5 {(8)}^{2} - 25 \cdot 8 \leq 125$

Paso 9.3.3

$632$ del lado izquierdo es mayor que $125$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Verdadero

$- 5 < x < 5$ Verdadero

$x > 5$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 5$ o $- 5 \leq x \leq 5$

Paso 11

Combina los intervalos.

$x \leq 5$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 5]$

Paso 13