Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{144}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y^{2}}{25} = 1 - \frac{x^{2}}{144}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 25$ .

$- 25 (- \frac{y^{2}}{25}) = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $- 25 (- \frac{y^{2}}{25})$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{25}$ al numerador.

$- 25 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.1.1.1.2

Factoriza $25$ de $- 25$ .

$25 (- 1) \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$25 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{25} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.1.1.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- 25 (1 - \frac{x^{2}}{144})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = - 25 \cdot 1 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 25$ por $1$ .

$y^{2} = - 25 - 25 (- \frac{x^{2}}{144})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 25 (- \frac{x^{2}}{144})$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 25$ .

$y^{2} = - 25 + 25 \frac{x^{2}}{144}$

Paso 3.2.1.3.2

Combina $25$ y $\frac{x^{2}}{144}$ .

$y^{2} = - 25 + \frac{25 x^{2}}{144}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{- 25 + \frac{25 x^{2}}{144}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $25 x^{2}$ como ${(5 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{144}}$

Paso 5.2

Reescribe $144$ como $12^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + \frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}}$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{{(5 x)}^{2}}{12^{2}}$ como ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 25 + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 5^{2} + {(\frac{5 x}{12})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Reordena $- 5^{2}$ y ${(\frac{5 x}{12})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5 x}{12})}^{2} - 5^{2}}$

Paso 5.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{5 x}{12}$ y $b = 5$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{5 x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Factoriza $5$ de $\frac{5 x}{12} + 5$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $5$ de $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $5$ de $5$ .

$y = \pm \sqrt{(5 \frac{x}{12} + 5 (1)) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $5$ de $5 \frac{x}{12} + 5 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{5 x}{12} - 5)}$

Paso 5.6.2

Factoriza $5$ de $\frac{5 x}{12} - 5$ .

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $5$ de $\frac{5 x}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} - 5)}$

Paso 5.6.2.2

Factoriza $5$ de $- 5$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 \frac{x}{12} + 5 (- 1))}$

Paso 5.6.2.3

Factoriza $5$ de $5 \frac{x}{12} + 5 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) (5 (\frac{x}{12} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{5 (\frac{x}{12} + 1) \cdot 5 (\frac{x}{12} - 1)}$

Paso 5.6.3

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + 1) (\frac{x}{12} - 1)}$

Paso 5.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \pm \sqrt{25 (\frac{x}{12} + \frac{12}{12}) (\frac{x}{12} - 1)}$

Paso 5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1)}$

Paso 5.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} - 1 \cdot \frac{12}{12})}$

Paso 5.10

Combina $- 1$ y $\frac{12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} (\frac{x}{12} + \frac{- 1 \cdot 12}{12})}$

Paso 5.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 1 \cdot 12}{12}}$

Paso 5.12

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$y = \pm \sqrt{25 \frac{x + 12}{12} \frac{x - 12}{12}}$

Paso 5.13

Combina exponentes.

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Paso 5.13.1

Combina $25$ y $\frac{x + 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12)}{12} \cdot \frac{x - 12}{12}}$

Paso 5.13.2

Multiplica $\frac{25 (x + 12)}{12}$ por $\frac{x - 12}{12}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{12 \cdot 12}}$

Paso 5.13.3

Multiplica $12$ por $12$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}}$

Paso 5.14

Reescribe $\frac{25 (x + 12) (x - 12)}{144}$ como ${(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))$ .

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Paso 5.14.1

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25 (x + 12) (x - 12)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{144}}$

Paso 5.14.2

Factoriza la potencia perfecta $12^{2}$ de $144$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.14.3

Reorganiza la fracción $\frac{5^{2} ((x + 12) (x - 12))}{12^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{5}{12})}^{2} ((x + 12) (x - 12))}$

Paso 5.15

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{5}{12} \sqrt{(x + 12) (x - 12)}$

Paso 5.16

Combina $\frac{5}{12}$ y $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ .

$y = \pm \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

$y = - \frac{5 \sqrt{(x + 12) (x - 12)}}{12}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 12) (x - 12)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 12) (x - 12) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

$x - 12 = 0$

Paso 8.2

Establece $x + 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $x + 12$ igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

Paso 8.2.2

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 12$

Paso 8.3

Establece $x - 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x - 12$ igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Paso 8.3.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 12$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 12) (x - 12) \geq 0$ verdadera.

$x = - 12, 12$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 12$

$- 12 < x < 12$

$x > 12$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 14$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 14$ en la desigualdad original.

$((- 14) + 12) ((- 14) - 12) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$52$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 12 < x < 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 12 < x < 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 12) ((0) - 12) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$- 144$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 12$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 12$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 14$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $14$ en la desigualdad original.

$((14) + 12) ((14) - 12) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$52$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 12$ Verdadero

$- 12 < x < 12$ Falso

$x > 12$ Verdadero

$x < - 12$ Verdadero

$- 12 < x < 12$ Falso

$x > 12$ Verdadero

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 12$ o $x \geq 12$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 12] \cup [12, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 12] \cup [12, \infty), {x | x \leq - 12, x \geq 12}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 12