Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

Paso 1

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Paso 2

Completa el cuadrado de $x^{2} + \frac{3}{4} x$ .

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Paso 2.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

Paso 2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

Paso 2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 2.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 2.4.2.3

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.4.2.3.1

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Paso 2.4.2.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$d = \frac{3}{8}$

Paso 2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.1.1.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

Paso 2.5.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 2.5.2.1.4

Multiplica $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.2.1.4.1

Multiplica $\frac{9}{16}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

Paso 2.5.2.1.4.2

Multiplica $16$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{9}{64}$

Paso 2.5.2.2

Resta $\frac{9}{64}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{64}$

Paso 2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

Paso 3

Sustituye ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ por $x^{2} + \frac{3}{4} x$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Paso 4

Mueve $- \frac{9}{64}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{9}{64}$ a ambos lados.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Paso 5

Completa el cuadrado de $y^{2} + \frac{5}{3} y$ .

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Paso 5.1

Combina $\frac{5}{3}$ y $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Paso 5.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Paso 5.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común de $1$ .

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Paso 5.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Paso 5.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.4.2.3

Multiplica $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.4.2.3.1

Multiplica $\frac{5}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Paso 5.4.2.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Paso 5.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.1.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.1.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Paso 5.5.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Paso 5.5.2.1.4

Multiplica $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Paso 5.5.2.1.4.1

Multiplica $\frac{25}{9}$ por $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Paso 5.5.2.1.4.2

Multiplica $9$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Paso 5.5.2.2

Resta $\frac{25}{36}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Paso 5.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Paso 6

Sustituye ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ por $y^{2} + \frac{5}{3} y$ en la ecuación $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Paso 7

Mueve $- \frac{25}{36}$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $\frac{25}{36}$ a ambos lados.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Paso 8

Simplifica $\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ .

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Paso 8.1

Obtén el denominador común

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Paso 8.1.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Paso 8.1.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Paso 8.1.3

Multiplica $\frac{9}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Paso 8.1.4

Multiplica $\frac{9}{64}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Paso 8.1.5

Multiplica $\frac{25}{36}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

Paso 8.1.6

Multiplica $\frac{25}{36}$ por $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Paso 8.1.7

Multiplica $2$ por $288$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Paso 8.1.8

Reordena los factores de $64 \cdot 9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Paso 8.1.9

Multiplica $9$ por $64$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Paso 8.1.10

Reordena los factores de $36 \cdot 16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

Paso 8.1.11

Multiplica $16$ por $36$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

Paso 8.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

Paso 8.3

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1

Multiplica $9$ por $9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

Paso 8.3.2

Multiplica $25$ por $16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

Paso 8.4

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 8.4.1

Suma $288$ y $81$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

Paso 8.4.2

Suma $369$ y $400$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

Paso 9

Esta es la forma de un círculo. Usa esta forma para determinar el centro y el radio del círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Paso 10

Haz coincidir los valores de este círculo con los de la ecuación ordinaria. La variable $r$ representa el radio del círculo, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

Paso 11

El centro del círculo se ubica en $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Paso 12

Estos valores representan los valores importantes para la representación gráfica y el análisis de un círculo.

Centro: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Radio: $\frac{\sqrt{769}}{24}$

Paso 13