Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{225} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{225}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 64$ .

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64}) = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $- 64 (- \frac{y^{2}}{64})$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y^{2}}{64}$ al numerador.

$- 64 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.1.1.1.2

Factoriza $64$ de $- 64$ .

$64 (- 1) \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$64 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.1.1.2

Multiplica.

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Paso 3.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.1.1.2.2

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $- 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = - 64 \cdot 1 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- 64$ por $1$ .

$y^{2} = - 64 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $- 64 (- \frac{x^{2}}{225})$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 64$ .

$y^{2} = - 64 + 64 \frac{x^{2}}{225}$

Paso 3.2.1.3.2

Combina $64$ y $\frac{x^{2}}{225}$ .

$y^{2} = - 64 + \frac{64 x^{2}}{225}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $64 x^{2}$ como ${(8 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{225}}$

Paso 5.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}}$

Paso 5.3

Reescribe $\frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}$ como ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica la expresión.

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Paso 5.4.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 8^{2} + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Paso 5.4.2

Reordena $- 8^{2}$ y ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8 x}{15})}^{2} - 8^{2}}$

Paso 5.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{8 x}{15}$ y $b = 8$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Paso 5.6

Simplifica.

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Paso 5.6.1

Factoriza $8$ de $\frac{8 x}{15} + 8$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $8$ de $\frac{8 x}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $8$ de $8$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8 (1)) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Paso 5.6.1.3

Factoriza $8$ de $8 \frac{x}{15} + 8 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Paso 5.6.2

Factoriza $8$ de $\frac{8 x}{15} - 8$ .

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $8$ de $\frac{8 x}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} - 8)}$

Paso 5.6.2.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} + 8 (- 1))}$

Paso 5.6.2.3

Factoriza $8$ de $8 \frac{x}{15} + 8 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 (\frac{x}{15} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) \cdot 8 (\frac{x}{15} - 1)}$

Paso 5.6.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{x}{15} - 1)}$

Paso 5.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + \frac{15}{15}) (\frac{x}{15} - 1)}$

Paso 5.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1)}$

Paso 5.9

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}$

Paso 5.10

Combina $- 1$ y $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}$

Paso 5.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 1 \cdot 15}{15}}$

Paso 5.12

Multiplica $- 1$ por $15$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 15}{15}}$

Paso 5.13

Combina exponentes.

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Paso 5.13.1

Combina $64$ y $\frac{x + 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15)}{15} \cdot \frac{x - 15}{15}}$

Paso 5.13.2

Multiplica $\frac{64 (x + 15)}{15}$ por $\frac{x - 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{15 \cdot 15}}$

Paso 5.13.3

Multiplica $15$ por $15$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}}$

Paso 5.14

Reescribe $\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}$ como ${(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))$ .

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Paso 5.14.1

Factoriza la potencia perfecta $8^{2}$ de $64 (x + 15) (x - 15)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{225}}$

Paso 5.14.2

Factoriza la potencia perfecta $15^{2}$ de $225$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.14.3

Reorganiza la fracción $\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))}$

Paso 5.15

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{8}{15} \sqrt{(x + 15) (x - 15)}$

Paso 5.16

Combina $\frac{8}{15}$ y $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ .

$y = \pm \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 15) (x - 15) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

Paso 8.2

Establece $x + 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $x + 15$ igual a $0$ .

$x + 15 = 0$

Paso 8.2.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 15$

Paso 8.3

Establece $x - 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x - 15$ igual a $0$ .

$x - 15 = 0$

Paso 8.3.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 15$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 15) (x - 15) \geq 0$ verdadera.

$x = - 15, 15$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 18$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 18$ en la desigualdad original.

$((- 18) + 15) ((- 18) - 15) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$99$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 15 < x < 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 15 < x < 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 15) ((0) - 15) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$- 225$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 18$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $18$ en la desigualdad original.

$((18) + 15) ((18) - 15) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$99$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 15$ Verdadero

$- 15 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Verdadero

$x < - 15$ Verdadero

$- 15 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Verdadero

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 15$ o $x \geq 15$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 15] \cup [15, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | y \in ℝ}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $(- \infty, - 15] \cup [15, \infty), {x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Rango: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Paso 12