Precálculo Ejemplos

$x^{2} + 6 x = 4 y - 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación en forma de vértice.

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Paso 1.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1.1

Reescribe la ecuación como $4 y - 5 = x^{2} + 6 x$ .

$4 y - 5 = x^{2} + 6 x$

Paso 1.1.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$4 y = x^{2} + 6 x + 5$

Paso 1.1.3

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 6 x + 5$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.1.3.1

Divide cada término en $4 y = x^{2} + 6 x + 5$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{6 x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{6 x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.1.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{6 x}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $4$ .

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Paso 1.1.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (3 x)}{4} + \frac{5}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (3 x)}{2 (2)} + \frac{5}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Paso 1.1.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{5}{4}$

Paso 1.2

Completa el cuadrado de $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{5}{4}$ .

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Paso 1.2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = \frac{5}{4}$

Paso 1.2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.3.2.2

Combina $2$ y $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Paso 1.2.3.2.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.2.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Paso 1.2.3.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 1.2.3.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.3.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Paso 1.2.3.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.5.1

Factoriza $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Paso 1.2.3.2.5.3

Reescribe la expresión.

$d = 3$

Paso 1.2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.4.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Paso 1.2.4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Paso 1.2.4.2.1.3

Divide $4$ por $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Paso 1.2.4.2.1.4

Divide $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 1.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{5 - 9}{4}$

Paso 1.2.4.2.3

Resta $9$ de $5$ .

$e = \frac{- 4}{4}$

Paso 1.2.4.2.4

Divide $- 4$ por $4$ .

$e = - 1$

Paso 1.2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 1$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 1$

Paso 1.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 1$

Paso 2

Usa la forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar los valores de $a$ , $h$ y $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 1$

Paso 3

Obtén el vértice $(h, k)$ .

$(- 3, - 1)$

Paso 4