Precálculo Ejemplos

$\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$

Paso 1

Establece el argumento en $\ln (\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}})$ mayor que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}} > 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ como ${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Paso 2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Paso 2.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{x + 3}{x - 2})}^{1} > 0^{2}$

Paso 2.2.2.1.2

Simplifica.

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0^{2}$

Paso 2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{x + 3}{x - 2} > 0$

Paso 2.3

Resuelve $x$

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Paso 2.3.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.3.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.3.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 3$

$x = 2$

Paso 2.3.5

Consolida las soluciones.

$x = - 3, 2$

Paso 2.4

Obtén el dominio de $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ .

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Paso 2.4.1

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x$

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Paso 2.4.2.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 2.4.2.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4.2.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 3$

$x = 2$

Paso 2.4.2.5

Consolida las soluciones.

$x = - 3, 2$

Paso 2.4.2.6

Obtén el dominio de $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

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Paso 2.4.2.6.1

Establece el denominador en $\frac{x + 3}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.2.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4.2.6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 2.4.2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Paso 2.4.2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.4.2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.4.2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.4.2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Paso 2.4.2.8.1.3

$0.375$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.4.2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.4.2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.4.2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Paso 2.4.2.8.2.3

$- 1.5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.4.2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.4.2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.4.2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Paso 2.4.2.8.3.3

$3.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.4.2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 2.4.2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $x > 2$

Paso 2.4.3

Establece el denominador en $\frac{x + 3}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 2.4.4

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 2.4.5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 3] \cup (2, \infty)$

Paso 2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Paso 2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2}} > 0$

Paso 2.6.1.3

$0.61237243$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{(0) + 3}{(0) - 2}} > 0$

Paso 2.6.2.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{\frac{(4) + 3}{(4) - 2}} > 0$

Paso 2.6.3.3

$1.87082869$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 3$ o $x > 2$

Paso 3

Establece el radicando en $\sqrt{\frac{x + 3}{x - 2}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$\frac{x + 3}{x - 2} \geq 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 4.3

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.4

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 3$

$x = 2$

Paso 4.5

Consolida las soluciones.

$x = - 3, 2$

Paso 4.6

Obtén el dominio de $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

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Paso 4.6.1

Establece el denominador en $\frac{x + 3}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 4.6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.6.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Paso 4.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 2$

$x > 2$

Paso 4.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 4.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{(- 6) + 3}{(- 6) - 2} \geq 0$

Paso 4.8.1.3

$0.375$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.8.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{(0) + 3}{(0) - 2} \geq 0$

Paso 4.8.2.3

$- 1.5$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 4.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{(4) + 3}{(4) - 2} \geq 0$

Paso 4.8.3.3

$3.5$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 4.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 3$ Verdadero

$- 3 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 4.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 3$ o $x > 2$

Paso 5

Establece el denominador en $\frac{x + 3}{x - 2}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - 2 = 0$

Paso 6

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 7

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (2, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < - 3, x > 2}$

Paso 8