Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x + 6)}^{2}}{20} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 1 - \frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$

Paso 2

Simplifica $1 - \frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$ .

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Paso 2.1

Combina en una fracción.

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Paso 2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20}{20} - \frac{{(x + 6)}^{2}}{20}$

Paso 2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - {(x + 6)}^{2}}{20}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Reescribe ${(x + 6)}^{2}$ como $(x + 6) (x + 6)$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - ((x + 6) (x + 6))}{20}$

Paso 2.2.2

Expande $(x + 6) (x + 6)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x (x + 6) + 6 (x + 6))}{20}$

Paso 2.2.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6))}{20}$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)}{20}$

Paso 2.2.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)}{20}$

Paso 2.2.3.1.2

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6)}{20}$

Paso 2.2.3.1.3

Multiplica $6$ por $6$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + 6 x + 6 x + 36)}{20}$

Paso 2.2.3.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - (x^{2} + 12 x + 36)}{20}$

Paso 2.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - x^{2} - (12 x) - 1 \cdot 36}{20}$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Multiplica $12$ por $- 1$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - x^{2} - 12 x - 1 \cdot 36}{20}$

Paso 2.2.5.2

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{20 - x^{2} - 12 x - 36}{20}$

Paso 2.2.6

Resta $36$ de $20$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- x^{2} - 12 x - 16}{20}$

Paso 2.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2}) - 12 x - 16}{20}$

Paso 2.3.2

Factoriza $- 1$ de $- 12 x$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2}) - (12 x) - 16}{20}$

Paso 2.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (12 x)$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2} + 12 x) - 16}{20}$

Paso 2.3.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2} + 12 x) - 1 (16)}{20}$

Paso 2.3.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 12 x) - 1 (16)$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Paso 2.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.6.1

Reescribe $- (x^{2} + 12 x + 16)$ como $- 1 (x^{2} + 12 x + 16)$ .

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = \frac{- 1 (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Paso 2.3.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = - \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20}$

Paso 3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $16$ .

$16 \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$

Paso 4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.1.1

Cancela el factor común de $16$ .

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Paso 4.1.1.1

Cancela el factor común.

$16 \frac{{(y - 4)}^{2}}{16} = 16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$

Paso 4.1.1.2

Reescribe la expresión.

${(y - 4)}^{2} = 16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $16 (- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20})$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2} + 12 x + 16}{20}$ al numerador.

${(y - 4)}^{2} = 16 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Paso 4.2.1.1.2

Factoriza $4$ de $16$ .

${(y - 4)}^{2} = 4 (4) \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{20}$

Paso 4.2.1.1.3

Factoriza $4$ de $20$ .

${(y - 4)}^{2} = 4 \cdot 4 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{4 \cdot 5}$

Paso 4.2.1.1.4

Cancela el factor común.

${(y - 4)}^{2} = 4 \cdot 4 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{4 \cdot 5}$

Paso 4.2.1.1.5

Reescribe la expresión.

${(y - 4)}^{2} = 4 \frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$

Paso 4.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{- (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{4 (- (x^{2} + 12 x + 16))}{5}$

Paso 4.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

${(y - 4)}^{2} = \frac{- 4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$

Paso 4.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(y - 4)}^{2} = - \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$

Paso 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 4 = \pm \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 4 = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$

Paso 6.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

Paso 6.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 4 = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$

Paso 6.4

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

Paso 6.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

$y = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

$y = \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

$y = - \sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}} + 4$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Divide cada término en $- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \geq 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.1.1

Divide cada término de $- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \geq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- \frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 8.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 8.1.2.2

Divide $\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5}$ por $1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \leq \frac{0}{- 1}$

Paso 8.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \leq 0$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $5$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Paso 8.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1.1

Simplifica $\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \cdot 5$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 8.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{5} \cdot 5 \leq 0 \cdot 5$

Paso 8.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 (x^{2} + 12 x + 16) \leq 0 \cdot 5$

Paso 8.3.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 4 (12 x) + 4 \cdot 16 \leq 0 \cdot 5$

Paso 8.3.1.1.3

Simplifica.

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Paso 8.3.1.1.3.1

Multiplica $12$ por $4$ .

$4 x^{2} + 48 x + 4 \cdot 16 \leq 0 \cdot 5$

Paso 8.3.1.1.3.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$4 x^{2} + 48 x + 64 \leq 0 \cdot 5$

Paso 8.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.1

Multiplica $0$ por $5$ .

$4 x^{2} + 48 x + 64 \leq 0$

Paso 8.4

Resuelve $x$

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Paso 8.4.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x^{2} + 48 x + 64 = 0$

Paso 8.4.2

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 48 x + 64$ .

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Paso 8.4.2.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$4 (x^{2}) + 48 x + 64 = 0$

Paso 8.4.2.2

Factoriza $4$ de $48 x$ .

$4 (x^{2}) + 4 (12 x) + 64 = 0$

Paso 8.4.2.3

Factoriza $4$ de $64$ .

$4 x^{2} + 4 (12 x) + 4 \cdot 16 = 0$

Paso 8.4.2.4

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4 (12 x)$ .

$4 (x^{2} + 12 x) + 4 \cdot 16 = 0$

Paso 8.4.2.5

Factoriza $4$ de $4 (x^{2} + 12 x) + 4 \cdot 16$ .

$4 (x^{2} + 12 x + 16) = 0$

Paso 8.4.3

Divide cada término en $4 (x^{2} + 12 x + 16) = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 8.4.3.1

Divide cada término en $4 (x^{2} + 12 x + 16) = 0$ por $4$ .

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 8.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.4.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x^{2} + 12 x + 16)}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 8.4.3.2.1.2

Divide $x^{2} + 12 x + 16$ por $1$ .

$x^{2} + 12 x + 16 = \frac{0}{4}$

Paso 8.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.4.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x^{2} + 12 x + 16 = 0$

Paso 8.4.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 8.4.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 12$ y $c = 16$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6

Simplifica.

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Paso 8.4.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.6.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 8.4.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6.1.3

Resta $64$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6.1.4

Reescribe $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.4.6.1.4.1

Factoriza $16$ de $80$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.4.6.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 6 \pm 2 \sqrt{5}$

Paso 8.4.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 8.4.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.7.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 8.4.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.7.1.3

Resta $64$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.7.1.4

Reescribe $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.4.7.1.4.1

Factoriza $16$ de $80$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.7.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.7.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.4.7.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 6 \pm 2 \sqrt{5}$

Paso 8.4.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = - 6 + 2 \sqrt{5}$

Paso 8.4.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 8.4.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.4.8.1.1

Eleva $12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Paso 8.4.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $16$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.8.1.3

Resta $64$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.8.1.4

Reescribe $80$ como $4^{2} \cdot 5$ .

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Paso 8.4.8.1.4.1

Factoriza $16$ de $80$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.8.1.4.2

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.8.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 8.4.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Paso 8.4.8.3

Simplifica $\frac{- 12 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = - 6 \pm 2 \sqrt{5}$

Paso 8.4.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = - 6 - 2 \sqrt{5}$

Paso 8.4.9

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 6 + 2 \sqrt{5}, - 6 - 2 \sqrt{5}$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 6 - 2 \sqrt{5}$

$- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$

$x > - 6 + 2 \sqrt{5}$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 13$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 13$ en la desigualdad original.

$- \frac{4 ({(- 13)}^{2} + 12 (- 13) + 16)}{5} \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 23.2$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$- \frac{4 ({(- 6)}^{2} + 12 (- 6) + 16)}{5} \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$16$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$- \frac{4 ({(0)}^{2} + 12 (0) + 16)}{5} \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 12.8$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ Falso

$- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ Verdadero

$x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ Falso

$x < - 6 - 2 \sqrt{5}$ Falso

$- 6 - 2 \sqrt{5} < x < - 6 + 2 \sqrt{5}$ Verdadero

$x > - 6 + 2 \sqrt{5}$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 6 - 2 \sqrt{5} \leq x \leq - 6 + 2 \sqrt{5}$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 6 - 2 \sqrt{5}, - 6 + 2 \sqrt{5}]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 6 - 2 \sqrt{5} \leq x \leq - 6 + 2 \sqrt{5}}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, 8]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | 0 \leq y \leq 8}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 6 - 2 \sqrt{5}, - 6 + 2 \sqrt{5}], {x | - 6 - 2 \sqrt{5} \leq x \leq - 6 + 2 \sqrt{5}}$

Rango: $[0, 8], {y | 0 \leq y \leq 8}$

Paso 12