Precálculo Ejemplos

$\frac{3}{x - 1} > \frac{4}{x + 1}$

Paso 1

Resta $\frac{4}{x + 1}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Para escribir $\frac{3}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{4}{x + 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) (x + 1)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{3}{x - 1}$ por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{4}{x + 1}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (x + 1) - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 3 - 4 x - 4 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.5.4

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.5.5

Resta $4 x$ de $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.5.6

Suma $3$ y $4$ .

$\frac{- x + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.7

Reescribe $7$ como $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (x - 7)$ como $- 1 (x - 7)$ .

$\frac{- 1 (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = 1$

Paso 8

Consolida las soluciones.

$x = 7, - 1, 1$

Paso 9

Obtén el dominio de $- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Establece el denominador en $\frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 9.2

Resuelve $x$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 9.2.2

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 9.2.2.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 9.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 9.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 9.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 1, 1$

Paso 9.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{(- 4) - 1} > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Paso 11.1.3

$- 0.6$ del lado izquierdo es mayor que $- 1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{(0) - 1} > \frac{4}{(0) + 1}$

Paso 11.2.3

$- 3$ del lado izquierdo no es mayor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{(4) - 1} > \frac{4}{(4) + 1}$

Paso 11.3.3

$1$ del lado izquierdo es mayor que $0.8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 10$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $10$ en la desigualdad original.

$\frac{3}{(10) - 1} > \frac{4}{(10) + 1}$

Paso 11.4.3

$0.\overline{3}$ del lado izquierdo no es mayor que $0.\overline{36}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Verdadero

$x > 7$ Falso

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $1 < x < 7$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 1) \cup (1, 7)$

Paso 14