Precálculo Ejemplos

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Paso 2

Divide ${(y - 3)}^{2}$ por $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Paso 3

Simplifica $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

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Paso 3.1

Combina en una fracción.

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Paso 3.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Paso 3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Paso 3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Paso 3.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2$ y $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

Paso 3.2.3

Simplifica.

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Paso 3.2.3.1

Resta $2$ de $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

Paso 3.2.3.2

Suma $x$ y $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

Paso 3.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

Paso 3.2.3.5

Suma $2$ y $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

Paso 3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

Paso 3.3.2

Reescribe $4$ como $- 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

Paso 3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

Paso 3.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.4.1

Reescribe $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

Paso 3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

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Paso 5.1

Reescribe $- \frac{x (x - 4)}{4}$ como ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ .

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Paso 5.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $x (x - 4)$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

Paso 5.1.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

Paso 5.1.4

Reordena $- 1$ y ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Paso 5.1.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Paso 5.1.6

Agrega paréntesis.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

Paso 5.1.7

Agrega paréntesis.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

Paso 5.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Paso 5.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Paso 5.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Paso 6.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Paso 6.3

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Paso 6.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Paso 6.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{- x (x - 4)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$- x (x - 4) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 8.2

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 8.3

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 8.3.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $- x (x - 4) \geq 0$ verdadera.

$x = 0, 4$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 12$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Verdadero

$x > 4$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$0 \leq x \leq 4$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[0, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[2, 4]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | 2 \leq y \leq 4}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

Rango: $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

Paso 12