Precálculo Ejemplos

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Paso 1

Resta $\frac{x^{2}}{100}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Paso 3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $64$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Paso 3.2.1.1.2

Multiplica $64$ por $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{2}}{100}$ al numerador.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

Paso 3.2.1.1.3.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

Paso 3.2.1.1.3.3

Factoriza $4$ de $100$ .

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 3.2.1.1.3.4

Cancela el factor común.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Paso 3.2.1.1.3.5

Reescribe la expresión.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

Paso 3.2.1.1.4

Combina $16$ y $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

Paso 3.2.1.1.5

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Paso 3.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

Paso 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Paso 5

Simplifica $\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

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Paso 5.1

Escribe la expresión usando exponentes.

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Paso 5.1.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Paso 5.1.2

Reescribe $\frac{16 x^{2}}{25}$ como ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

Paso 5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 8$ y $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.3

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.1

Combina $8$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.5.1

Factoriza $4$ de $8 \cdot 5 + 4 x$ .

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Paso 5.5.1.1

Factoriza $4$ de $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.5.1.2

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.5.1.3

Factoriza $4$ de $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.5.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.6

Para escribir $8$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.7

Simplifica los términos.

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Paso 5.7.1

Combina $8$ y $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Paso 5.7.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

Paso 5.8

Simplifica el numerador.

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Paso 5.8.1

Factoriza $4$ de $8 \cdot 5 - 4 x$ .

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Paso 5.8.1.1

Factoriza $4$ de $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

Paso 5.8.1.2

Factoriza $4$ de $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

Paso 5.8.1.3

Factoriza $4$ de $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

Paso 5.8.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

Paso 5.9

Combina fracciones.

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Paso 5.9.1

Multiplica $\frac{4 (10 + x)}{5}$ por $\frac{4 (10 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.9.2

Multiplica.

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Paso 5.9.2.1

Multiplica $4$ por $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

Paso 5.9.2.2

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

Paso 5.10

Reescribe $\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ como ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ .

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Paso 5.10.1

Factoriza la potencia perfecta ${(2^{2})}^{2}$ de $16 (10 + x) (10 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

Paso 5.10.2

Factoriza la potencia perfecta $5^{2}$ de $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Paso 5.10.3

Reorganiza la fracción $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

Paso 5.11

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Paso 5.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Paso 5.13

Combina $\frac{4}{5}$ y $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Paso 6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Paso 6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Paso 6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

Paso 8.2

Establece $10 + x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $10 + x$ igual a $0$ .

$10 + x = 0$

Paso 8.2.2

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 10$

Paso 8.3

Establece $10 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $10 - x$ igual a $0$ .

$10 - x = 0$

Paso 8.3.2

Resuelve $10 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 8.3.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 10$

Paso 8.3.2.2

Divide cada término en $- x = - 10$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.3.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 10$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

Paso 8.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.2.2.3.1

Divide $- 10$ por $- 1$ .

$x = 10$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ verdadera.

$x = - 10, 10$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 12$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 12$ en la desigualdad original.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 44$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 10 < x < 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 10 < x < 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$100$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 10$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 10$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 44$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < 10$ Verdadero

$x > 10$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 10 \leq x \leq 10$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 10, 10]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 8, 8]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

Rango: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Paso 12