Precálculo Ejemplos

(- \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})

$(- \frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares

$(x, y)$ a coordenadas polares

$(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza

$x$ y

$y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- \frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Usa la regla de la potencia

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a

$- \frac{3}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Aplica la regla del producto a

$\frac{3}{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Eleva

$- 1$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Multiplica

$\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por

$1$ .

$r = \sqrt{\frac{3^{2}}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{2^{2}} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + {(\frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Usa la regla de la potencia

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.6.1

Aplica la regla del producto a

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{{(3 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.2

Aplica la regla del producto a

$3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.7.1

Eleva

$3$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2

Reescribe

${\sqrt{3}}^{2}$ como

$3$ .

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Paso 3.7.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir

$\sqrt{3}$ como

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.3

Combina

$\frac{1}{2}$ y

$2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.4

Cancela el factor común de

$2$ .

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Paso 3.7.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.1

Eleva

$2$ a la potencia de

$2$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.2

Multiplica

$9$ por

$3$ .

$r = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{9 + 27}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.4

Suma

$9$ y

$27$ .

$r = \sqrt{\frac{36}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.5

Divide

$36$ por

$4$ .

$r = \sqrt{9}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.8.6

Reescribe

$9$ como

$3^{2}$ .

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{3^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.9

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza

$x$ y

$y$ con los valores reales.

$r = 3$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{- \frac{3}{2}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de

$- \sqrt{3}$ es

$θ = 120 °$ .

$r = 3$

$θ = 120 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma

$(r, θ)$ .

$(3, 120 °)$