Precálculo Ejemplos

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{6})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- \sqrt{2})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 {\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.3

Multiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$r = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{{\sqrt{2}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {(- \sqrt{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{6}$ .

$r = \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{2 + 1 {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3

Multiplica ${\sqrt{6}}^{2}$ por $1$ .

$r = \sqrt{2 + {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + {\sqrt{6}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Reescribe ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{2 + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{2 + 6^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2 + 6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Suma $2$ y $6$ .

$r = \sqrt{8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$r = \sqrt{4 (2)}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.6.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.7

Retira los términos de abajo del radical.

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \sqrt{6}}{- \sqrt{2}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $\sqrt{3}$ es $θ = 240 °$ .

$r = 2 \sqrt{2}$

$θ = 240 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(2 \sqrt{2}, 240 °)$