Precálculo Ejemplos

$(- 5 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2})$

Paso 1

Convierte de coordenadas rectangulares $(x, y)$ a coordenadas polares $(r, θ)$ con las fórmulas de conversión.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 2

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = \sqrt{{(- 5 \sqrt{2})}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3

Obtén la magnitud de la coordenada polar.

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Paso 3.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1.1

Aplica la regla del producto a $- 5 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{{(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.1.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 {\sqrt{2}}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.2.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 \cdot 2 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.3.1

Multiplica $25$ por $2$ .

$r = \sqrt{50 + {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.2

Aplica la regla del producto a $5 \sqrt{2}$ .

$r = \sqrt{50 + 5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.3.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{50 + 25 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{50 + 25 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{50 + 25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.4.1

Cancela el factor común.

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.4.5

Evalúa el exponente.

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{50 + 25 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Multiplica $25$ por $2$ .

$r = \sqrt{50 + 50}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5.2

Suma $50$ y $50$ .

$r = \sqrt{100}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5.3

Reescribe $100$ como $10^{2}$ .

$r = \sqrt{10^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 3.5.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Paso 4

Reemplaza $x$ y $y$ con los valores reales.

$r = 10$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{5 \sqrt{2}}{- 5 \sqrt{2}})$

Paso 5

La inversa de la tangente de $- 1$ es $θ = 135 °$ .

$r = 10$

$θ = 135 °$

Paso 6

Este es el resultado de la conversión a coordenadas polares en la forma $(r, θ)$ .

$(10, 135 °)$