Precálculo Ejemplos

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1) = 1 - \sec^{2} (x)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 2

Aplica la identidad pitagórica.

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Paso 2.1

Reordena $\cos^{2} (x)$ y $- 1$ .

$(- 1 + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 2.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$(- 1 (1) + \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 2.3

Factoriza $- 1$ de $\cos^{2} (x)$ .

$(- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 2.4

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 2.5

Reescribe $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ como $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 2.6

Aplica la identidad pitagórica.

$- \sin^{2} (x) (\tan^{2} (x) + 1)$

Paso 2.7

Aplica la identidad pitagórica.

$- \sin^{2} (x) \sec^{2} (x)$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$- (1 - \cos^{2} (x)) \sec^{2} (x)$

Paso 4

Convierte a senos y cosenos.

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Paso 4.1

Aplica la identidad recíproca a $\sec (x)$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Paso 4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- (1 - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$(- 1 - - {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 5.4

Multiplica $- - {\cos (x)}^{2}$ .

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Paso 5.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$(- 1 + 1 {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 5.4.2

Multiplica ${\cos (x)}^{2}$ por $1$ .

$(- 1 + {\cos (x)}^{2}) \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 5.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 5.6

Reescribe $- 1 \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ como $- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{2} \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}$

Paso 5.7

Cancela el factor común de ${\cos (x)}^{2}$ .

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} + 1$

Paso 6

Reordena los términos.

$1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Paso 7

Reescribe $1 - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como $1 - \sec^{2} (x)$ .

$1 - \sec^{2} (x)$

Paso 8

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$(\cos^{2} (x) - 1) (\tan^{2} (x) + 1) = 1 - \sec^{2} (x)$ es una identidad