Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Paso 2

Resta de fracciones.

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ por $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ por $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 3.1.3

Multiplica $- - \cos (θ)$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 3.1.3.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 3.3

Suma $0$ y $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 3.4

Suma $\cos (θ)$ y $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Expande $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 6

Reescribe $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ como $2 \cot (θ) \csc (θ)$ .

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

Paso 7

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ es una identidad