Precálculo Ejemplos

$x^{2} + y^{2} + 4 x + 6 y - 12 = 0$

Paso 1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 6$ y $c = x^{2} + 4 x - 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4

Simplifica.

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.5

Suma $36$ y $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ en forma factorizada.

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Paso 3.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ .

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Paso 3.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $84$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 3.1.6.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.2

Reescribe $- 4$ como $3$ más $- 7$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7

Reescribe $4 (- x + 3) (x + 7)$ como $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ .

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Paso 3.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

Paso 3.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Paso 4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4

Simplifica.

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Paso 4.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.5

Suma $36$ y $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ en forma factorizada.

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ .

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Paso 4.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $84$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 4.1.6.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.2

Reescribe $- 4$ como $3$ más $- 7$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7

Reescribe $4 (- x + 3) (x + 7)$ como $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

Paso 4.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Paso 4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = - 3 + \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Paso 5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (x^{2} + 4 x - 12)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 4 (4 x) - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4

Simplifica.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x - 4 \cdot - 12}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $- 4$ por $- 12$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 x^{2} - 16 x + 48}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.5

Suma $36$ y $48$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 4 x^{2} - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6

Reescribe $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} - 16 x + 84$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) - 16 x + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.2

Factoriza $4$ de $- 16 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 84}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.3

Factoriza $4$ de $84$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (- 4 x)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} - 4 x) + 4 (21)$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.6.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ y cuya suma es $b = - 4$ .

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Paso 5.1.6.2.1.1

Factoriza $- 4$ de $- 4 x$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} - 4 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.2

Reescribe $- 4$ como $3$ más $- 7$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + (3 - 7) x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x^{2} + 3 x - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.6.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x^{2} + 3 x) - 7 x + 21)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (x (- x + 3) + 7 (- x + 3))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.6.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 3$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7

Reescribe $4 (- x + 3) (x + 7)$ como $2^{2} ((- x + 3) (x + 7))$ .

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Paso 5.1.7.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} (- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.7.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} ((- x + 3) (x + 7))}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2 \cdot 1}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}}{2}$ .

$y = - 3 \pm \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Paso 5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = - 3 - \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Paso 6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = - 3 + \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

$y = - 3 - \sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$

Paso 7

Establece el radicando en $\sqrt{(- x + 3) (x + 7)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(- x + 3) (x + 7) \geq 0$

Paso 8

Resuelve $x$

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Paso 8.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$- x + 3 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 8.2

Establece $- x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.2.1

Establece $- x + 3$ igual a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Paso 8.2.2

Resuelve $- x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 8.2.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 3$

Paso 8.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 8.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 3$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Paso 8.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.2.2.3.1

Divide $- 3$ por $- 1$ .

$x = 3$

Paso 8.3

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.3.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 8.3.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 8.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(- x + 3) (x + 7) \geq 0$ verdadera.

$x = 3, - 7$

Paso 8.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 7$

$- 7 < x < 3$

$x > 3$

Paso 8.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 7$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 7$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 10$

Paso 8.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 10$ en la desigualdad original.

$(- (- 10) + 3) ((- 10) + 7) \geq 0$

Paso 8.6.1.3

$- 39$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 7 < x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 7 < x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$(- (0) + 3) ((0) + 7) \geq 0$

Paso 8.6.2.3

$21$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 8.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 6$

Paso 8.6.3.2

Reemplaza $x$ con $6$ en la desigualdad original.

$(- (6) + 3) ((6) + 7) \geq 0$

Paso 8.6.3.3

$- 39$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 8.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < 3$ Verdadero

$x > 3$ Falso

Paso 8.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 7 \leq x \leq 3$

Paso 9

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[- 7, 3]$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | - 7 \leq x \leq 3}$

Paso 10

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[- 8, 2]$

Notación del constructor de conjuntos:

${y | - 8 \leq y \leq 2}$

Paso 11

Determina el dominio y el rango.

Dominio: $[- 7, 3], {x | - 7 \leq x \leq 3}$

Rango: $[- 8, 2], {y | - 8 \leq y \leq 2}$

Paso 12