Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 7$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{2} - 7}{x - 7}$ cuando $x = 7$ .

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Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$7$	$2$	$0$	$- 7$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(7)$ y coloca el resultado de $(14)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$
	$2$	$14$

Paso 2.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(14)$ por el divisor $(7)$ y coloca el resultado de $(98)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$

Paso 2.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$7$	$2$	$0$	$- 7$
		$14$	$98$
	$2$	$14$	$91$

Paso 2.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(2) x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Paso 2.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x + 14 + \frac{91}{x - 7}$

Paso 3

Como $7 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $7$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $7$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{2} - 7}{x + 7}$ cuando $x = - 7$ .

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Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(- 14)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$
	$2$	$- 14$

Paso 4.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 14)$ por el divisor $(- 7)$ y coloca el resultado de $(98)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$

Paso 4.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 7$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 14$	$98$
	$2$	$- 14$	$91$

Paso 4.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(2) x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Paso 4.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x - 14 + \frac{91}{x + 7}$

Paso 5

Como $- 7 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 7$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 7$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{2} - 7}{x - \frac{7}{2}}$ cuando $x = \frac{7}{2}$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$
	$2$	$7$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(7)$ por el divisor $(\frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(\frac{49}{2})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$7$	$\frac{35}{2}$

Paso 6.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(2) x + 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x - \frac{7}{2}}$

Paso 6.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x + 7 + \frac{35}{2 x - 7}$

Paso 7

Como $\frac{7}{2} > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $\frac{7}{2}$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $\frac{7}{2}$

Paso 8

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x^{2} - 7}{x + \frac{7}{2}}$ cuando $x = - \frac{7}{2}$ .

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Paso 8.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

Paso 8.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$

	$2$

Paso 8.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(- 7)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$

Paso 8.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$
	$2$	$- 7$

Paso 8.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 7)$ por el divisor $(- \frac{7}{2})$ y coloca el resultado de $(\frac{49}{2})$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$

Paso 8.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{7}{2}$	$2$	$0$	$- 7$
		$- 7$	$\frac{49}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{35}{2}$

Paso 8.7

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$(2) x - 7 + \frac{\frac{35}{2}}{x + \frac{7}{2}}$

Paso 8.8

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x - 7 + \frac{35}{2 x + 7}$

Paso 9

Como $- \frac{7}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{7}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{7}{2}$

Paso 10

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $7, \frac{7}{2}$

Cotas inferiores: $- 7, - \frac{7}{2}$

Paso 11