Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 27 i = 0$

Paso 1

Resta $27 i$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} = - 27 i$

Paso 2

Esta es la forma trigonométrica de un número complejo donde $| z |$ es el módulo y $θ$ es el ángulo creado en el plano complejo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Paso 3

El módulo de un número complejo es la distancia desde el origen en el plano complejo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ donde $z = a + b i$

Paso 4

Sustituye los valores reales de $a = 0$ y $b = - 27$ .

$| z | = \sqrt{{(- 27)}^{2}}$

Paso 5

Obtén $| z |$ .

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Paso 5.1

Eleva $- 27$ a la potencia de $2$ .

$| z | = \sqrt{729}$

Paso 5.2

Reescribe $729$ como $27^{2}$ .

$| z | = \sqrt{27^{2}}$

Paso 5.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$| z | = 27$

Paso 6

El ángulo del punto en el plano complejo es la inversa de la tangente de la parte compleja en la parte real.

$θ = \arctan (\frac{- 27}{0})$

Paso 7

Como el argumento es indefinido y $b$ es negativa, el ángulo del punto en el plano complejo es $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 8

Sustituye los valores de $θ = \frac{3 π}{2}$ y $| z | = 27$ .

$27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Paso 9

Reemplaza el lado derecho de la ecuación con la forma trigonométrica.

$x^{3} = 27 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$