Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$

Paso 1

Establece $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ igual a $0$ .

$2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 116, \pm 58, \pm 2, \pm 29, \pm 4, \pm 14.5$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $0.5$ en el polinomio.

$2 \cdot {0.5}^{4} - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $0.5$ a la potencia de $4$ .

$2 \cdot 0.0625 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $2$ por $0.0625$ .

$0.125 - 13 \cdot {0.5}^{3} - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.4

Eleva $0.5$ a la potencia de $3$ .

$0.125 - 13 \cdot 0.125 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $- 13$ por $0.125$ .

$0.125 - 1.625 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.6

Resta $1.625$ de $0.125$ .

$- 1.5 - 16 \cdot {0.5}^{2} + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.7

Eleva $0.5$ a la potencia de $2$ .

$- 1.5 - 16 \cdot 0.25 + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.8

Multiplica $- 16$ por $0.25$ .

$- 1.5 - 4 + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.9

Resta $4$ de $- 1.5$ .

$- 5.5 + 243 \cdot 0.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.10

Multiplica $243$ por $0.5$ .

$- 5.5 + 121.5 - 116$

Paso 2.1.1.3.11

Suma $- 5.5$ y $121.5$ .

$116 - 116$

Paso 2.1.1.3.12

Resta $116$ de $116$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116}{2 x - 1}$

Paso 2.1.1.5

Divide $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ por $2 x - 1$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

					$x^{3}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			+	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{4} - x^{3}$ .

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{3}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 12 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					-	$12 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 12 x^{3} + 6 x^{2}$ .

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 22 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 22 x^{2} + 11 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

Paso 2.1.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

Paso 2.1.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $232 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$13 x^{3}$

$16 x^{2}$

$243 x$

$116$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$12 x^{3}$

$6 x^{2}$

$22 x^{2}$

$243 x$

$22 x^{2}$

$11 x$

$232 x$

$116$

Paso 2.1.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									+	$232 x$	-	$116$

Paso 2.1.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $232 x - 116$ .

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$

Paso 2.1.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{4}$	-	$13 x^{3}$	-	$16 x^{2}$	+	$243 x$	-	$116$
			-	$2 x^{4}$	+	$x^{3}$
					-	$12 x^{3}$	-	$16 x^{2}$
					+	$12 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
							-	$22 x^{2}$	+	$243 x$
							+	$22 x^{2}$	-	$11 x$
									+	$232 x$	-	$116$
									-	$232 x$	+	$116$
												$0$

Paso 2.1.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$

Paso 2.1.1.6

Escribe $2 x^{4} - 13 x^{3} - 16 x^{2} + 243 x - 116$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.2.1.1

$p = \pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.2.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 116, \pm 2, \pm 58, \pm 4, \pm 29$

Paso 2.1.2.1.3

Sustituye $- 4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Sustituye $- 4$ en el polinomio.

${(- 4)}^{3} - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

Paso 2.1.2.1.3.2

Eleva $- 4$ a la potencia de $3$ .

$- 64 - 6 {(- 4)}^{2} - 11 \cdot - 4 + 116$

Paso 2.1.2.1.3.3

Eleva $- 4$ a la potencia de $2$ .

$- 64 - 6 \cdot 16 - 11 \cdot - 4 + 116$

Paso 2.1.2.1.3.4

Multiplica $- 6$ por $16$ .

$- 64 - 96 - 11 \cdot - 4 + 116$

Paso 2.1.2.1.3.5

Resta $96$ de $- 64$ .

$- 160 - 11 \cdot - 4 + 116$

Paso 2.1.2.1.3.6

Multiplica $- 11$ por $- 4$ .

$- 160 + 44 + 116$

Paso 2.1.2.1.3.7

Suma $- 160$ y $44$ .

$- 116 + 116$

Paso 2.1.2.1.3.8

Suma $- 116$ y $116$ .

$0$

Paso 2.1.2.1.4

Como $- 4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 4$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116}{x + 4}$

Paso 2.1.2.1.5

Divide $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ por $x + 4$ .

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Paso 2.1.2.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$11 x$

$116$

Paso 2.1.2.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$

Paso 2.1.2.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			+	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 2.1.2.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 2.1.2.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$

Paso 2.1.2.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 2.1.2.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 10 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$

Paso 2.1.2.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$40 x$

Paso 2.1.2.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 10 x^{2} - 40 x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$

Paso 2.1.2.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$

Paso 2.1.2.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$10 x$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

Paso 2.1.2.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $29 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$

Paso 2.1.2.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							+	$29 x$	+	$116$

Paso 2.1.2.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $29 x + 116$ .

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$

Paso 2.1.2.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$10 x$	+	$29$
$x$	+	$4$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	-	$11 x$	+	$116$
			-	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$10 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$40 x$
							+	$29 x$	+	$116$
							-	$29 x$	-	$116$
										$0$

Paso 2.1.2.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 10 x + 29$

Paso 2.1.2.1.6

Escribe $x^{3} - 6 x^{2} - 11 x + 116$ como un conjunto de factores.

$(2 x - 1) ((x + 4) (x^{2} - 10 x + 29)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Paso 2.3

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $2 x - 1$ igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 1$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Paso 2.4

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.4.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 10 x + 29$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 10 x + 29$ igual a $0$ .

$x^{2} - 10 x + 29 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 10 x + 29 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 10$ y $c = 29$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 29)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Resta $116$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Paso 2.5.2.3.3

Simplifica $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Paso 2.5.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.4.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Paso 2.5.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.3

Resta $116$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Paso 2.5.2.4.3

Simplifica $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Paso 2.5.2.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 5 + 2 i$

Paso 2.5.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.5.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.5.1.1

Eleva $- 10$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 29$ .

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Paso 2.5.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 29}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $29$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 116}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.3

Resta $116$ de $100$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.4

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (16)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{10 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.7

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{10 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{10 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.1.9

Mueve $4$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{10 \pm 4 i}{2}$

Paso 2.5.2.5.3

Simplifica $\frac{10 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 5 \pm 2 i$

Paso 2.5.2.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 5 - 2 i$

Paso 2.5.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 5 + 2 i, 5 - 2 i$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 1) (x + 4) (x^{2} - 10 x + 29) = 0$ verdadera. La multiplicidad de una raíz es la cantidad de veces que aparece la raíz.

$x = \frac{1}{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 4$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5 + 2 i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5 - 2 i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = \frac{1}{2}$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = - 4$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5 + 2 i$ (Multiplicidad de $1$ )

$x = 5 - 2 i$ (Multiplicidad de $1$ )

Paso 3