Precálculo Ejemplos

$y = \arccos (\frac{x}{2})$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \arccos (\frac{y}{2})$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\arccos (\frac{y}{2}) = x$ .

$\arccos (\frac{y}{2}) = x$

Paso 2.2

Resta la inversa del arcocoseno de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior del arcocoseno.

$\frac{y}{2} = \cos (x)$

Paso 2.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.4.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y}{2} = 2 \cos (x)$

Paso 2.4.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 \cos (x)$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ es la inversa de $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 \cos (\arccos (\frac{x}{2}))$

Paso 4.2.3

Las funciones coseno y arcocoseno son inversas.

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 4.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\arccos (\frac{x}{2})) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (2 \cos (x))$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\frac{2 \cos (x)}{2})$

Paso 4.3.3.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$f (2 \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$ es la inversa de $f (x) = \arccos (\frac{x}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = 2 \cos (x)$