Precálculo Ejemplos

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6 = 0$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = \frac{3}{2}$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.4.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.5

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.6

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.8

Multiplica $- 3 (\frac{9}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.8.1

Combina $- 3$ y $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.8.2

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Paso 4.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.10.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 6$

Paso 4.1.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 6$

Paso 4.1.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 6$

Paso 4.1.11

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 6$

Paso 4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 6 + 6 + \frac{27 - 27}{4}$

Paso 4.2.2

Resta $27$ de $27$ .

$- 6 + 6 + \frac{0}{4}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Escribe $- 6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 6}{1} + 6 + \frac{0}{4}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

Paso 4.3.4

Escribe $6$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} + \frac{0}{4}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Multiplica $- 6$ por $4$ .

$\frac{- 24 + 6 \cdot 4}{4}$

Paso 4.5.2

Multiplica $6$ por $4$ .

$\frac{- 24 + 24}{4}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Suma $- 24$ y $24$ .

$\frac{0}{4}$

Paso 4.6.2

Divide $0$ por $4$ .

$0$

Paso 5

Como $\frac{3}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - \frac{3}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{3}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(\frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 4)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(\frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(6)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{2} + 0 x - 4$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{2} - 4$

Paso 7

Factoriza $2$ de $2 x^{2} - 4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 4)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 2))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 6 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) = 0$

Paso 8.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 10

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Establece $2 x - 3$ igual a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $2 x - 3 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 3$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Paso 11

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 11.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 11.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 11.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 11.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 1.5, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 14