Precálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} x + 3$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2} y + 3$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2} y + 3 = x$ .

$\frac{1}{2} y + 3 = x$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $y$ .

$\frac{y}{2} + 3 = x$

Paso 2.3

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{2} = x - 3$

Paso 2.4

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 3)$

Paso 2.5

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 2.5.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.5.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x - 3)$

Paso 2.5.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 (x - 3)$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.1

Simplifica $2 (x - 3)$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 3$

Paso 2.5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$y = 2 x - 6$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2 x - 6$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2 x - 6$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x + 3$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = 2 (\frac{1}{2} x + 3) - 6$

Paso 4.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = 2 (\frac{x}{2} + 3) - 6$

Paso 4.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 3 - 6$

Paso 4.2.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 3 - 6$

Paso 4.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = x + 2 \cdot 3 - 6$

Paso 4.2.3.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = x + 6 - 6$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 6 - 6$ .

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Paso 4.2.4.1

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = x + 0$

Paso 4.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x + 3) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (2 x - 6)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (2 x - 6) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 6) + 3$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (2 x - 6) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 6 + 3$

Paso 4.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (2 x - 6) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 6 + 3$

Paso 4.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (2 x - 6) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 6 + 3$

Paso 4.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (2 x - 6) = x + \frac{1}{2} \cdot - 6 + 3$

Paso 4.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.3.3.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f (2 x - 6) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (- 3)) + 3$

Paso 4.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (2 x - 6) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 3) + 3$

Paso 4.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (2 x - 6) = x - 3 + 3$

Paso 4.3.4

Combina los términos opuestos en $x - 3 + 3$ .

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Paso 4.3.4.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f (2 x - 6) = x + 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (2 x - 6) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2 x - 6$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2} x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x - 6$