Precálculo Ejemplos

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y - 368 = 0$

Paso 1

Suma $368$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$

Paso 2

Completa el cuadrado de $9 x^{2} - 72 x$ .

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Paso 2.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Paso 2.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 2.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 9}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $- 72$ y $2$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Paso 2.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (9)}$

Paso 2.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 9}$

Paso 2.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 36}{9}$

Paso 2.3.2.2

Cancela el factor común de $- 36$ y $9$ .

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Paso 2.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 36$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9}$

Paso 2.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 (1)}$

Paso 2.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 4}{9 \cdot 1}$

Paso 2.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 4}{1}$

Paso 2.3.2.2.2.4

Divide $- 4$ por $1$ .

$d = - 4$

Paso 2.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 2.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.2.1.1

Eleva $- 72$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Paso 2.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Paso 2.4.2.1.3

Divide $5184$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Paso 2.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $144$ .

$e = 0 - 144$

Paso 2.4.2.2

Resta $144$ de $0$ .

$e = - 144$

Paso 2.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144$

Paso 3

Sustituye $9 {(x - 4)}^{2} - 144$ por $9 x^{2} - 72 x$ en la ecuación $9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$ .

$9 {(x - 4)}^{2} - 144 + 16 y^{2} + 64 y = 368$

Paso 4

Mueve $- 144$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $144$ a ambos lados.

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 y^{2} + 64 y = 368 + 144$

Paso 5

Completa el cuadrado de $16 y^{2} + 64 y$ .

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Paso 5.1

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Paso 5.2

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 5.3

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $64$ y $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Factoriza $2$ de $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Paso 5.3.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Paso 5.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Paso 5.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{32}{16}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común de $32$ y $16$ .

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza $16$ de $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.2.1

Factoriza $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Paso 5.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Paso 5.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{2}{1}$

Paso 5.3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$d = 2$

Paso 5.4

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 5.4.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.2.1.1

Eleva $64$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Paso 5.4.2.1.2

Multiplica $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Paso 5.4.2.1.3

Divide $4096$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Paso 5.4.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Paso 5.4.2.2

Resta $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Paso 5.5

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $16 {(y + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(y + 2)}^{2} - 64$

Paso 6

Sustituye $16 {(y + 2)}^{2} - 64$ por $16 y^{2} + 64 y$ en la ecuación $9 x^{2} + 16 y^{2} - 72 x + 64 y = 368$ .

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} - 64 = 368 + 144$

Paso 7

Mueve $- 64$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $64$ a ambos lados.

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 368 + 144 + 64$

Paso 8

Simplifica $368 + 144 + 64$ .

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Paso 8.1

Suma $368$ y $144$ .

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 512 + 64$

Paso 8.2

Suma $512$ y $64$ .

$9 {(x - 4)}^{2} + 16 {(y + 2)}^{2} = 576$

Paso 9

Divide cada término por $576$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$\frac{9 {(x - 4)}^{2}}{576} + \frac{16 {(y + 2)}^{2}}{576} = \frac{576}{576}$

Paso 10

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 4)}^{2}}{64} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{36} = 1$

Paso 11

Esta es la forma de una elipse. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener el centro, junto con los ejes mayor y menor de la elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 12

Haz coincidir los valores de esta elipse con los de la ecuación ordinaria. La variable $a$ representa el radio del eje mayor de la elipse, $b$ representa el radio del eje menor de la elipse, $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen y $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen.

$a = 8$

$b = 6$

$k = - 2$

$h = 4$

Paso 13

Obtén la excentricidad con la siguiente fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Paso 14

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula.

$\frac{\sqrt{{(8)}^{2} - {(6)}^{2}}}{8}$

Paso 15

Simplifica.

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Paso 15.1

Simplifica el numerador.

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Paso 15.1.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 6^{2}}}{8}$

Paso 15.1.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\sqrt{64 - 1 \cdot 36}}{8}$

Paso 15.1.3

Multiplica $- 1$ por $36$ .

$\frac{\sqrt{64 - 36}}{8}$

Paso 15.1.4

Resta $36$ de $64$ .

$\frac{\sqrt{28}}{8}$

Paso 15.1.5

Reescribe $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

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Paso 15.1.5.1

Factoriza $4$ de $28$ .

$\frac{\sqrt{4 (7)}}{8}$

Paso 15.1.5.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 7}}{8}$

Paso 15.1.6

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{2 \sqrt{7}}{8}$

Paso 15.2

Cancela el factor común de $2$ y $8$ .

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Paso 15.2.1

Factoriza $2$ de $2 \sqrt{7}$ .

$\frac{2 (\sqrt{7})}{8}$

Paso 15.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Paso 15.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \sqrt{7}}{2 \cdot 4}$

Paso 15.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{7}}{4}$

Forma decimal:

$0.66143782 \dots$

Paso 17