Precálculo Ejemplos

$(- 1, - 1)$ , $(1, 2)$

Paso 1

El diámetro de un círculo es cualquier segmento de recta que pase por el centro del círculo y cuyos extremos estén en la circunferencia del círculo. Los extremos dados del diámetro son $(- 1, - 1)$ y $(1, 2)$ . El punto central del círculo es el centro del diámetro, que es el punto medio entre $(- 1, - 1)$ y $(1, 2)$ . En este caso, el punto medio es $(0, \frac{1}{2})$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula del punto medio para obtener el punto medio del segmento.

$(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})$

Paso 1.2

Sustituye los valores de $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ .

$(\frac{- 1 + 1}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Paso 1.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$(\frac{0}{2}, \frac{- 1 + 2}{2})$

Paso 1.4

Divide $0$ por $2$ .

$(0, \frac{- 1 + 2}{2})$

Paso 1.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$(0, \frac{1}{2})$

Paso 2

Obtén el radio $r$ en el círculo. El radio es cualquier segmento desde el centro del círculo hasta cualquier punto en su circunferencia. En este caso, $r$ es la distancia entre $(0, \frac{1}{2})$ y $(- 1, - 1)$ .

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Paso 2.1

Usa la fórmula de distancia para determinar la distancia entre los dos puntos.

$Distancia = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Paso 2.2

Sustituye los valores reales de los puntos en la fórmula de distancia.

$r = \sqrt{{((- 1) - 0)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Resta $0$ de $- 1$ .

$r = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 + {((- 1) - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 2 - 1}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.6.2

Resta $1$ de $- 2$ .

$r = \sqrt{1 + {(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$r = \sqrt{1 + {(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.8

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 2.3.8.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Paso 2.3.8.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{2}$ .

$r = \sqrt{1 + {(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Paso 2.3.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 + 1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Paso 2.3.10

Multiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Paso 2.3.11

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{2^{2}}}$

Paso 2.3.12

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$r = \sqrt{1 + \frac{9}{4}}$

Paso 2.3.13

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$r = \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{9}{4}}$

Paso 2.3.14

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$r = \sqrt{\frac{4 + 9}{4}}$

Paso 2.3.15

Suma $4$ y $9$ .

$r = \sqrt{\frac{13}{4}}$

Paso 2.3.16

Reescribe $\sqrt{\frac{13}{4}}$ como $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$ .

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{4}}$

Paso 2.3.17

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.17.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 2.3.17.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$r = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Paso 3

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$ es la forma de la ecuación para un círculo con $r$ radio y $(h, k)$ como punto central. En este caso, $r = \frac{\sqrt{13}}{2}$ y el punto central es $(0, \frac{1}{2})$ . La ecuación del círculo es ${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$ .

${(x - (0))}^{2} + {(y - (\frac{1}{2}))}^{2} = {(\frac{\sqrt{13}}{2})}^{2}$

Paso 4

La ecuación de un círculo es ${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$ .

${(x - 0)}^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Paso 5

Simplifica la ecuación del círculo.

$x^{2} + {(y - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{13}{4}$

Paso 6