Precálculo Ejemplos

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 2$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (2 θ)$ .

$\frac{2 \sin (2 θ)}{2} = - \frac{1}{2}$

Paso 4

Simplifica $\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Paso 4.1

Divide $2$ por $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 1 = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Multiplica $\sin (2 θ)$ por $1$ .

$\sin (2 θ) = - \frac{1}{2}$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$2 θ = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ es $- \frac{π}{6}$ .

$2 θ = - \frac{π}{6}$

Paso 7

Divide cada término en $2 θ = - \frac{π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 θ = - \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2

Multiplica $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{6}$ .

$θ = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $2$ por $6$ .

$θ = - \frac{π}{12}$

Paso 8

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 9.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Paso 9.2

El ángulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Paso 9.3

Divide cada término en $2 θ = \frac{7 π}{6}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.3.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{7 π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 9.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 9.3.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Paso 9.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.3.3.2

Multiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 9.3.3.2.1

Multiplica $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Paso 9.3.3.2.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Paso 10

Obtén el período de $\sin (2 θ)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11

Suma $π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 11.1

Suma $π$ y $- \frac{π}{12}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{12} + π$

Paso 11.2

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 11.3

Combina fracciones.

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Paso 11.3.1

Combina $π$ y $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Paso 11.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

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Paso 11.4.1

Mueve $12$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Paso 11.4.2

Resta $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Paso 11.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{11 π}{12}$

Paso 12

El período de la función $\sin (2 θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , para cualquier número entero $n$