Precálculo Ejemplos

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ .

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Paso 3.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \sin (2 x)$ .

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Paso 3.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 3.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.2.2

La derivada de $\sin (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.5

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.2.7

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

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Paso 3.3.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = 4 x$ .

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Paso 3.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{3}$ como $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.3.2.2

La derivada de $\cos (u_{3})$ con respecto a $u_{3}$ es $- \sin (u_{3})$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Paso 3.3.3

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 3.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Paso 3.3.5

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Paso 3.3.6

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

Paso 3.3.7

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

Paso 3.3.8

Combina $\frac{- 4}{2}$ y $\sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

Paso 3.3.9

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

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Paso 3.3.9.1

Factoriza $2$ de $- 4 \sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

Paso 3.3.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

Paso 3.3.9.2.2

Cancela el factor común.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

Paso 3.3.9.2.3

Reescribe la expresión.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

Paso 3.3.9.2.4

Divide $- 2 \sin (4 x)$ por $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Paso 3.4

Reordena los términos.

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$