Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 12 x^{3} + 31 x^{2} - 12 x - 32$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$12 x^{3} - 12 x + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

Paso 2

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3} - 12 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 12 x + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

Paso 2.2

Factoriza $12 x$ de $- 12 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

Paso 2.3

Factoriza $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 1)$ .

$12 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$12 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$12 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 31 x^{2} - 32$

Paso 5

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$12 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 31 x^{2} - 32$

Paso 6

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$12 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 31 u - 32$

Paso 7

Factoriza $u^{2} + 31 u - 32$ con el método AC.

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Paso 7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 32$ y cuya suma es $31$ .

$- 1, 32$

Paso 7.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$12 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 32)$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 32)$

Paso 9

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 32)$

Paso 10

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$12 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$

Paso 11

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $12 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$ .

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Paso 11.1

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $12 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (12 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$

Paso 11.2

Factoriza $(x + 1) (x - 1)$ de $(x + 1) (x - 1) (12 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 32)$ .

$(x + 1) (x - 1) (12 x + x^{2} + 32)$

Paso 12

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (12 u + u^{2} + 32)$

Paso 13

Factoriza $12 u + u^{2} + 32$ con el método AC.

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Paso 13.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $32$ y cuya suma es $12$ .

$4, 8$

Paso 13.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x + 1) (x - 1) ((u + 4) (u + 8))$

Paso 14

Factoriza.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x + 4) (x + 8))$

Paso 14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (x + 4) (x + 8)$