Precálculo Ejemplos

$\frac{- 1}{x - 6} < \frac{2}{9 - x}$

Paso 1

Resta $\frac{2}{9 - x}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x}$ .

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Paso 2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{1}{x - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Paso 2.3

Para escribir $- \frac{2}{9 - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Paso 2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 6) (9 - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $\frac{1}{x - 6}$ por $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{2}{9 - x}$ por $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.4.3

Reordena los factores de $(x - 6) (9 - x)$ .

$- \frac{9 - x}{(9 - x) (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- (9 - x) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1

Factoriza $- 1$ de $- (9 - x) - 2 (x - 6)$ .

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Paso 2.6.1.1

Reordena $9$ y $- x$ .

$\frac{- (- x + 9) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.6.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 2 (x - 6)$ .

$\frac{- (- x + 9) - (2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.6.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (- x + 9) - (2 (x - 6))$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- (- x + 9 + 2 x + 2 \cdot - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.6.3

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 x - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.6.4

Suma $- x$ y $2 x$ .

$\frac{- (x + 9 - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.6.5

Resta $12$ de $9$ .

$\frac{- (x - 3)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x - 3 = 0$

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 9$

Paso 6

Divide cada término en $- x = - 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $- x = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 6.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Divide $- 9$ por $- 1$ .

$x = 9$

Paso 7

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 3$

$x = 9$

$x = 6$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 3, 9, 6$

Paso 10

Obtén el dominio de $- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(9 - x) (x - 6) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Paso 10.2.2

Establece $9 - x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.2.2.1

Establece $9 - x$ igual a $0$ .

$9 - x = 0$

Paso 10.2.2.2

Resuelve $9 - x = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.2.2.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- x = - 9$

Paso 10.2.2.2.2

Divide cada término en $- x = - 9$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.2.2.1

Divide cada término en $- x = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 10.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 10.2.2.2.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Paso 10.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.2.2.3.1

Divide $- 9$ por $- 1$ .

$x = 9$

Paso 10.2.3

Establece $x - 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.2.3.1

Establece $x - 6$ igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Paso 10.2.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 10.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(9 - x) (x - 6) = 0$ verdadera.

$x = 9, 6$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 6) \cup (6, 9) \cup (9, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 3$

$3 < x < 6$

$6 < x < 9$

$x > 9$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{- 1}{(0) - 6} < \frac{2}{9 - (0)}$

Paso 12.1.3

$0.1\overline{6}$ del lado izquierdo es menor que $0.\overline{2}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $3 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $3 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{- 1}{(4) - 6} < \frac{2}{9 - (4)}$

Paso 12.2.3

$0.5$ del lado izquierdo no es menor que $0.4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $6 < x < 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $6 < x < 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{- 1}{(8) - 6} < \frac{2}{9 - (8)}$

Paso 12.3.3

$- 0.5$ del lado izquierdo es menor que $2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 9$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 9$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 12$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $12$ en la desigualdad original.

$\frac{- 1}{(12) - 6} < \frac{2}{9 - (12)}$

Paso 12.4.3

$- 0.1\overline{6}$ del lado izquierdo no es menor que $- 0.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 3$ Verdadero

$3 < x < 6$ Falso

$6 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

$x < 3$ Verdadero

$3 < x < 6$ Falso

$6 < x < 9$ Verdadero

$x > 9$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < 3$ o $6 < x < 9$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, 3) \cup (6, 9)$

Paso 15