Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 4 x^{2} \geq 4 x + 16$

Paso 1

Resta $4 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x \geq 16$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x = 16$

Paso 3

Resta $16$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{3} + 4 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Paso 4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} + 4 x^{2}) - 4 x - 16 = 0$

Paso 4.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x + 4) - 4 (x + 4) = 0$

Paso 4.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 4.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x + 4) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 4.4

Factoriza.

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Paso 4.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x + 4) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 6

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 6.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 8

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 8.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 8.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadera.

$x = - 4, - 2, 2$

Paso 10

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 11

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 11.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 11.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} + 4 {(- 6)}^{2} \geq 4 (- 6) + 16$

Paso 11.1.3

$- 72$ del lado izquierdo es menor que $- 8$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 11.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(- 3)}^{3} + 4 {(- 3)}^{2} \geq 4 (- 3) + 16$

Paso 11.2.3

$9$ del lado izquierdo es mayor que $4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 11.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

${(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} \geq 4 (0) + 16$

Paso 11.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $16$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 11.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 11.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 11.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} \geq 4 (4) + 16$

Paso 11.4.3

$128$ del lado izquierdo es mayor que $32$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 11.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 4$ Falso

$- 4 < x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 12

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 4 \leq x \leq - 2$ o $x \geq 2$

Paso 13

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$[- 4, - 2] \cup [2, \infty)$

Paso 14