Precálculo Ejemplos

$f (x) = 9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$

Paso 1

Establece $9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24$ igual a $0$ .

$9 x^{4} - 9 x^{3} - 58 x^{2} + 4 x + 24 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$- 9 x^{3} + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $- x$ de $- 9 x^{3} + 4 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $- x$ de $- 9 x^{3}$ .

$- x (9 x^{2}) + 4 x + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $- x$ de $4 x$ .

$- x (9 x^{2}) - x \cdot - 4 + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (9 x^{2}) - x (- 4)$ .

$- x (9 x^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 4) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- x ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza.

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Paso 2.1.5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$- x ((3 x + 2) (3 x - 2)) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 x^{4} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 {(x^{2})}^{2} - 58 x^{2} + 24 = 0$

Paso 2.1.7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 9 \cdot 24 = 216$ y cuya suma es $b = - 58$ .

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Paso 2.1.8.1.1

Factoriza $- 58$ de $- 58 u$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 58 u + 24 = 0$

Paso 2.1.8.1.2

Reescribe $- 58$ como $- 4$ más $- 54$

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} + (- 4 - 54) u + 24 = 0$

Paso 2.1.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Paso 2.1.8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + 9 u^{2} - 4 u - 54 u + 24 = 0$

Paso 2.1.8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + u (9 u - 4) - 6 (9 u - 4) = 0$

Paso 2.1.8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $9 u - 4$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 u - 4) (u - 6) = 0$

Paso 2.1.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (9 x^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.10

Reescribe $9 x^{2}$ como ${(3 x)}^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 4) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.11

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.12

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 3 x$ y $b = 2$ .

$- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.13

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

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Paso 2.1.13.1

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $- x (3 x + 2) (3 x - 2)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.13.2

Factoriza $(3 x + 2) (3 x - 2)$ de $(3 x + 2) (3 x - 2) (- x) + (3 x + 2) (3 x - 2) (x^{2} - 6)$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- x + x^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.14

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) (- u + u^{2} - 6) = 0$

Paso 2.1.15

Factoriza $- u + u^{2} - 6$ con el método AC.

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Paso 2.1.15.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 6$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 3, 2$

Paso 2.1.15.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((u - 3) (u + 2)) = 0$

Paso 2.1.16

Factoriza.

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Paso 2.1.16.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(3 x + 2) (3 x - 2) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

Paso 2.1.16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $3 x + 2$ igual a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $3 x + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 2$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{3}$

Paso 2.4

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $3 x - 2$ igual a $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 2$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 2$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Paso 2.5

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 2.6

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.6.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 2) (3 x - 2) (x - 3) (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, 3, - 2$

Paso 3