Precálculo Ejemplos

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ)$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\sin (θ) + \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.2

Multiplica $\cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Paso 2.2.1

Combina $\cos (θ)$ y $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.2.3

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin (θ) + \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)}$

Paso 2.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$\sin (θ) + \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 3

Aplica la identidad pitagórica al revés.

$\sin (θ) + \frac{1 - \sin^{2} (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (θ) + \frac{1^{2} - {\sin (θ)}^{2}}{\sin (θ)}$

Paso 4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = \sin (θ)$ .

$\sin (θ) + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Paso 4.2

Para escribir $\sin (θ)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{\sin (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\sin (θ)} + \frac{(1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Paso 4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\sin (θ) \sin (θ) + (1 + \sin (θ)) (1 - \sin (θ))}{\sin (θ)}$

Paso 4.4

Simplifica el numerador.

$\frac{1}{\sin (θ)}$

Paso 5

Reescribe $\frac{1}{\sin (θ)}$ como $\csc (θ)$ .

$\csc (θ)$

Paso 6

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$\sin (θ) + \cos (θ) \cot (θ) = \csc (θ)$ es una identidad