Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 5$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 5$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$5 {(- 5)}^{3} + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$5 \cdot - 125 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

Paso 4.1.2

Multiplica $5$ por $- 125$ .

$- 625 + 28 {(- 5)}^{2} + 16 (- 5) + 5$

Paso 4.1.3

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- 625 + 28 \cdot 25 + 16 (- 5) + 5$

Paso 4.1.4

Multiplica $28$ por $25$ .

$- 625 + 700 + 16 (- 5) + 5$

Paso 4.1.5

Multiplica $16$ por $- 5$ .

$- 625 + 700 - 80 + 5$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $- 625$ y $700$ .

$75 - 80 + 5$

Paso 4.2.2

Resta $80$ de $75$ .

$- 5 + 5$

Paso 4.2.3

Suma $- 5$ y $5$ .

$0$

Paso 5

Como $- 5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5}{x + 5}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(5)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$

	$5$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(5)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 25)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(28)$ .

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$
	$5$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$
	$5$	$3$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 15)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(16)$ .

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$
	$5$	$3$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$
	$5$	$3$	$1$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 5)$ y coloca el resultado de $(- 5)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(5)$ .

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$	$- 5$
	$5$	$3$	$1$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 5$	$5$	$28$	$16$	$5$
		$- 25$	$- 15$	$- 5$
	$5$	$3$	$1$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$5 x^{2} + 3 x + 1$

Paso 7

Resuelve la ecuación para obtener las raíces restantes.

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Paso 7.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 7.2

Sustituye los valores $a = 5$ , $b = 3$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 1)}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3.1.2.2

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3.1.3

Resta $20$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.3.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 7.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Paso 7.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.4.1.2.2

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.4.1.3

Resta $20$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.4.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.4.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{11})}{10}$

Paso 7.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (- i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{11})}{10}$

Paso 7.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 7.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.5.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 5 \cdot 1$ .

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Paso 7.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20 \cdot 1}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.5.1.2.2

Multiplica $- 20$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 20}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.5.1.3

Resta $20$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.5.1.4

Reescribe $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (11)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 5}$

Paso 7.5.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.5.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{11}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{11})}{10}$

Paso 7.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (3) - (i \sqrt{11})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{11})}{10}$

Paso 7.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Paso 7.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Paso 8

El polinomio puede escribirse como un conjunto de factores lineales.

$(x + 5) (x + \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}) (x + \frac{3 + i \sqrt{11}}{10})$

Paso 9

Estas son las raíces (ceros) del polinomio $5 x^{3} + 28 x^{2} + 16 x + 5$ .

$x = - 5, - \frac{3 - i \sqrt{11}}{10}, - \frac{3 + i \sqrt{11}}{10}$

Paso 10