Precálculo Ejemplos

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = \arctan (y + \frac{π}{2})$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como $\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$ .

$\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$

Paso 2.2

Calcula la inversa de la arcotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $y$ del interior de la arcotangente.

$y + \frac{π}{2} = \tan (x)$

Paso 2.3

Resta $\frac{π}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Paso 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ es la inversa de $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2}))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = \tan (\arctan (x + \frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.3

Las funciones tangente y arcotangente son inversas.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 4.2.4

Combina los términos opuestos en $x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Paso 4.2.4.2

Resta $π$ de $π$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Paso 4.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.5.1

Divide $0$ por $2$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + 0$

Paso 4.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (\tan (x) - \frac{π}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan ((\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Paso 4.3.3

Combina los términos opuestos en $(\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.3.3.1

Suma $- \frac{π}{2}$ y $\frac{π}{2}$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x) + 0)$

Paso 4.3.3.2

Suma $\tan (x)$ y $0$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x))$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ es la inversa de $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$