Precálculo Ejemplos

$x = \sqrt{y} + \sqrt[4]{y}$

Paso 1

Reescribe el lado derecho con exponentes racionales.

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Paso 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{y}$

Paso 1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{y}$ como $y^{\frac{1}{4}}$ .

$x = y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$

Paso 2

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}})$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 4

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{\frac{1}{2}} + y^{\frac{1}{4}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 4.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.9

Combina $\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2}$ y $y'$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}} y'}{2} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.2.10

Mueve $y^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$

Paso 4.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [y^{\frac{1}{4}}]$ .

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Paso 4.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 4.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} {u_{2}}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $y$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Paso 4.3.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1} y'$

Paso 4.3.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} y'$

Paso 4.3.4

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} y'$

Paso 4.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} y'$

Paso 4.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{1 - 4}{4}} y'$

Paso 4.3.6.2

Resta $4$ de $1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{\frac{- 3}{4}} y'$

Paso 4.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{4} y^{- \frac{3}{4}} y'$

Paso 4.3.8

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4} y'$

Paso 4.3.9

Combina $\frac{y^{- \frac{3}{4}}}{4}$ y $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{- \frac{3}{4}} y'}{4}$

Paso 4.3.10

Mueve $y^{- \frac{3}{4}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Paso 5

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}}$

Paso 6

Resuelve $y'$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$

Paso 6.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 6.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$

Paso 6.2.2

Since $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 4, 1$ then find LCM for the variable part $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ .

Paso 6.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 6.2.4

Como $2$ no tiene factores además de $1$ y $2$ .

$2$ es un número primo

Paso 6.2.5

$4$ tiene factores de $2$ y $2$ .

$2 \cdot 2$

Paso 6.2.6

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 6.2.7

El MCM de $2, 4, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$2 \cdot 2$

Paso 6.2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$4$

Paso 6.2.9

El MCM de $y^{\frac{1}{2}}, y^{\frac{3}{4}}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.2.10

El MCM para $2 y^{\frac{1}{2}}, 4 y^{\frac{3}{4}}, 1$ es la parte numérica $4$ multiplicada por la parte variable.

$4 y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.3

Multiplica cada término en $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ por $4 y^{\frac{3}{4}}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 6.3.1

Multiplica cada término en $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} = 1$ por $4 y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.3.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 \cdot 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.3

Combina $2$ y $\frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{3}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.4

Cancela el factor común de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 6.3.2.1.4.1

Factoriza $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 y'}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{4}}) + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} (4 y^{\frac{3}{4}}) = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 6.3.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + 4 \frac{y'}{4 y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.7

Cancela el factor común de $y^{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 6.3.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + \frac{y'}{y^{\frac{3}{4}}} y^{\frac{3}{4}} = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 1 (4 y^{\frac{3}{4}})$

Paso 6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.3.1

Multiplica $4 y^{\frac{3}{4}}$ por $1$ .

$2 y' y^{\frac{1}{4}} + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 6.4.1

Factoriza $y'$ de $2 y' y^{\frac{1}{4}} + y'$ .

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Paso 6.4.1.1

Factoriza $y'$ de $2 y' y^{\frac{1}{4}}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.4.1.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.4.1.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1 = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.4.1.4

Factoriza $y'$ de $y' (2 y^{\frac{1}{4}}) + y' \cdot 1$ .

$y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$

Paso 6.4.2

Divide cada término en $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ por $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ y simplifica.

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Paso 6.4.2.1

Divide cada término en $y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1) = 4 y^{\frac{3}{4}}$ por $2 y^{\frac{1}{4}} + 1$ .

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Paso 6.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y^{\frac{1}{4}} + 1)}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Paso 6.4.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$

Paso 7

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{\frac{3}{4}}}{2 y^{\frac{1}{4}} + 1}$