Precálculo Ejemplos

$p (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ .

$- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Paso 1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.2.1

Combina $x^{3}$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Paso 1.2.2.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$

Paso 1.2.3

Multiplica cada término en $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica cada término en $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ por $2$ .

$- \frac{x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{2}$ al numerador.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$- x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.3.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0 \cdot 2$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Paso 1.2.4

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.4.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3} + 3 x - 2$ .

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Paso 1.2.4.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 3 x - 2 = 0$

Paso 1.2.4.1.2

Factoriza $- 1$ de $3 x$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 2 = 0$

Paso 1.2.4.1.3

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.4.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$- (x^{3} - 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Paso 1.2.4.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{3} - 3 x) - 1 (2)$ .

$- (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Paso 1.2.4.2

Factoriza $x^{3} - 3 x + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.2.4.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 1.2.4.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Paso 1.2.4.2.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.2.4.2.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.4.2.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Paso 1.2.4.2.3.3

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$1 - 3 + 2$

Paso 1.2.4.2.3.4

Resta $3$ de $1$ .

$- 2 + 2$

Paso 1.2.4.2.3.5

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 1.2.4.2.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Paso 1.2.4.2.5

Divide $x^{3} - 3 x + 2$ por $x - 1$ .

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Paso 1.2.4.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Paso 1.2.4.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Paso 1.2.4.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 1.2.4.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 1.2.4.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Paso 1.2.4.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Paso 1.2.4.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Paso 1.2.4.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 1.2.4.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 1.2.4.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Paso 1.2.4.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Paso 1.2.4.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Paso 1.2.4.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Paso 1.2.4.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x + 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Paso 1.2.4.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Paso 1.2.4.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + x - 2$

Paso 1.2.4.2.6

Escribe $x^{3} - 3 x + 2$ como un conjunto de factores.

$- ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Paso 1.2.4.3

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.4.3.1

Factoriza $x^{2} + x - 2$ con el método AC.

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Paso 1.2.4.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $1$ .

$- 1, 2$

Paso 1.2.4.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Paso 1.2.4.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Paso 1.2.4.4

Factoriza.

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Paso 1.2.4.4.1

Combina factores semejantes.

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Paso 1.2.4.4.1.1

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Paso 1.2.4.4.1.2

Eleva $x - 1$ a la potencia de $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Paso 1.2.4.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Paso 1.2.4.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$- ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Paso 1.2.4.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Paso 1.2.5

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Paso 1.2.6

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.6.1

Establece ${(x - 1)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Paso 1.2.6.2

Resuelve ${(x - 1)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.6.2.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 1.2.6.2.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 1.2.7

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 1.2.7.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 1.2.7.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 1.2.8

La solución final comprende todos los valores que hacen $- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ verdadera.

$x = 1, - 2$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(1, 0), (- 2, 0)$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Paso 2.2.2

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0 - 1$

Paso 2.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Paso 2.2.4

Simplifica $- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$ .

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

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Paso 2.2.4.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{2}) + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Paso 2.2.4.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{1}{2}$ .

$y = 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Paso 2.2.4.1.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Paso 2.2.4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 2.2.4.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$y = 0 - 1$

Paso 2.2.4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$y = - 1$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, - 1)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(1, 0), (- 2, 0)$

Intersección(es) con y: $(0, - 1)$

Paso 4