Precálculo Ejemplos

$y = 4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{6} + 3 x^{5} - 7 x^{3} - 5 x^{2} + 11$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{6}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{6}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$4 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.2.3

Multiplica $6$ por $4$ .

$24 x^{5} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 x^{5} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$24 x^{5} + 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.3.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 7 x^{3}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $- 7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.4.3

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.5.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [11]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.6.1

Como $11$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $11$ con respecto a $x$ es $0$ .

$24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x + 0$

Paso 1.6.2

Suma $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ y $0$ .

$f' (x) = 24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 x^{5} + 15 x^{4} - 21 x^{2} - 10 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [24 x^{5}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24 x^{5}$ con respecto a $x$ es $24 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$24 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.2.3

Multiplica $5$ por $24$ .

$120 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$120 x^{4} + 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.3.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 21 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 21 x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 21$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 21 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 21 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 21 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.4.3

Multiplica $2$ por $- 21$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10 x$ con respecto a $x$ es $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10 \cdot 1$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$f'' (x) = 120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $120 x^{4} + 60 x^{3} - 42 x - 10$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [120 x^{4}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $120$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $120 x^{4}$ con respecto a $x$ es $120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.2.3

Multiplica $4$ por $120$ .

$480 x^{3} + \frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{3}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$480 x^{3} + 60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$480 x^{3} + 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.3.3

Multiplica $3$ por $60$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 42 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 42 x]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 42 x$ con respecto a $x$ es $- 42 \frac{d}{d x} [x]$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.4.3

Multiplica $- 42$ por $1$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + \frac{d}{d x} [- 10]$

Paso 3.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.5.1

Como $- 10$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 10$ con respecto a $x$ es $0$ .

$480 x^{3} + 180 x^{2} - 42 + 0$

Paso 3.5.2

Suma $480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$ y $0$ .

$f''' (x) = 480 x^{3} + 180 x^{2} - 42$