Precálculo Ejemplos

${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2} + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 1

Reescribe ${(\sin (θ) + \cos (θ))}^{2}$ como $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ .

$(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 2

Expande $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) + \cos (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (\sin (θ) + \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 3.1.1.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.1.2

Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 3.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1} + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sin^{2} (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.2

Reordena los factores de $\sin (θ) \cos (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 3.3

Suma $\cos (θ) \sin (θ)$ y $\cos (θ) \sin (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 4

Mueve $\cos^{2} (θ)$ .

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) + 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 5

Aplica la identidad pitagórica.

$1 + 2 \cos (θ) \sin (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Reordena $2 \cos (θ)$ y $\sin (θ)$ .

$1 + \sin (θ) (2 \cos (θ)) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis.

$1 + \sin (θ) \cdot 2 \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 6.3

Reordena $\sin (θ)$ y $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 6.4

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$1 + \sin (2 θ) + {(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$

Paso 7

Reescribe ${(\sin (θ) - \cos (θ))}^{2}$ como $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ .

$1 + \sin (2 θ) + (\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Paso 8

Expande $(\sin (θ) - \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ))$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 8.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) (\sin (θ) - \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) (\sin (θ) - \cos (θ))$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 + \sin (2 θ) + \sin (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Paso 9

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Multiplica $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Paso 9.1.1.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{1} (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Paso 9.1.1.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Paso 9.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \sin (2 θ) + {\sin (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Paso 9.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) + \sin (θ) (- \cos (θ)) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Paso 9.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) (- \cos (θ))$

Paso 9.1.3

Multiplica $- \cos (θ) (- \cos (θ))$ .

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Paso 9.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + 1 \cos (θ) \cos (θ)$

Paso 9.1.3.2

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \cos (θ)$

Paso 9.1.3.3

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos (θ)$

Paso 9.1.3.4

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)$

Paso 9.1.3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + {\cos (θ)}^{1 + 1}$

Paso 9.1.3.6

Suma $1$ y $1$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \sin (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Paso 9.2

Reordena los factores de $- \sin (θ) \cos (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - \cos (θ) \sin (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Paso 9.3

Resta $\cos (θ) \sin (θ)$ de $- \cos (θ) \sin (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ) + \cos^{2} (θ)$

Paso 10

Mueve $\cos^{2} (θ)$ .

$1 + \sin (2 θ) + \sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 11

Aplica la identidad pitagórica.

$1 + \sin (2 θ) + 1 - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Paso 12

Suma $1$ y $1$ .

$2 + \sin (2 θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$