Precálculo Ejemplos

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$

Paso 1

Comienza por el lado izquierdo.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Paso 2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.1

Reescribe $\csc (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Paso 2.1.2

Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Reescribe $\csc (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \cot (θ))$

Paso 2.2.2

Reescribe $\cot (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.3

Expande $(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.4

Combina los términos opuestos en $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ .

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Paso 2.4.1

Reordena los factores en los términos $\frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ y $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.4.2

Suma $- \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ y $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 0 + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.4.3

Suma $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ y $0$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.5

Simplifica cada término.

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Paso 2.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

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Paso 2.5.1.1

Multiplica $\frac{1}{\sin (θ)}$ por $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.5.1.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.5.1.3

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.5.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{{\sin (θ)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.5.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Paso 2.5.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Paso 2.5.3

Multiplica $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Paso 2.5.3.1

Multiplica $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Paso 2.5.3.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Paso 2.5.3.3

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Paso 2.5.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Paso 2.5.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Paso 2.5.3.6

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Paso 2.5.3.7

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Paso 2.5.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Paso 2.5.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 2.7

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 2.8

Cancela el factor común de $\sin^{2} (θ)$ .

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Paso 2.8.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Paso 2.8.2

Reescribe la expresión.

$1$

Paso 3

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$ es una identidad