Precálculo Ejemplos

$y = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Paso 1

Obtén las intersecciones con x.

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Paso 1.1

Para obtener la(s) intersección(es) con x, sustituye $0$ por $y$ y resuelve para $x$ .

$0 = - \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ .

$- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Paso 1.2.2

Divide cada término en $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 1.2.2.1

Divide cada término en $- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.2.2.2.2

Divide $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ por $1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = \frac{0}{- 1}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5}) = 0$

Paso 1.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$\frac{1}{2} x + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Paso 1.2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.4.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \arccos (0)$

Paso 1.2.5

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.5.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{π}{2}$

Paso 1.2.6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.6.1

Resta $\frac{π}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} - \frac{π}{5}$

Paso 1.2.6.2

Para escribir $\frac{π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Paso 1.2.6.3

Para escribir $- \frac{π}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.6.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.6.4.1

Multiplica $\frac{π}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.6.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.6.4.3

Multiplica $\frac{π}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Paso 1.2.6.4.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Paso 1.2.6.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Paso 1.2.6.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.6.1

Mueve $5$ a la izquierda de $π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 \cdot π - π \cdot 2}{10}$

Paso 1.2.6.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{5 π - 2 π}{10}$

Paso 1.2.6.6.3

Resta $2 π$ de $5 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{10}$

Paso 1.2.7

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Paso 1.2.8

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.8.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.8.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{10}$

Paso 1.2.8.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{3 π}{10}$

Paso 1.2.8.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.8.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.8.2.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = 2 \frac{3 π}{2 (5)}$

Paso 1.2.8.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.8.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3 π}{5}$

Paso 1.2.9

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.10

Resuelve $x$

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Paso 1.2.10.1

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 1.2.10.1.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.10.1.2

Combina fracciones.

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Paso 1.2.10.1.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 1.2.10.1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 1.2.10.1.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.10.1.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 1.2.10.1.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{x}{2} + \frac{π}{5} = \frac{3 π}{2}$

Paso 1.2.10.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.2.10.2.1

Resta $\frac{π}{5}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{5}$

Paso 1.2.10.2.2

Para escribir $\frac{3 π}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5}$

Paso 1.2.10.2.3

Para escribir $- \frac{π}{5}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.10.2.4

Escribe cada expresión con un denominador común de $10$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 1.2.10.2.4.1

Multiplica $\frac{3 π}{2}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.10.2.4.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π}{5} \cdot \frac{2}{2}$

Paso 1.2.10.2.4.3

Multiplica $\frac{π}{5}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{5 \cdot 2}$

Paso 1.2.10.2.4.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5}{10} - \frac{π \cdot 2}{10}$

Paso 1.2.10.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x}{2} = \frac{3 π \cdot 5 - π \cdot 2}{10}$

Paso 1.2.10.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.10.2.6.1

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - π \cdot 2}{10}$

Paso 1.2.10.2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{x}{2} = \frac{15 π - 2 π}{10}$

Paso 1.2.10.2.6.3

Resta $2 π$ de $15 π$ .

$\frac{x}{2} = \frac{13 π}{10}$

Paso 1.2.10.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Paso 1.2.10.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 1.2.10.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.10.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.10.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{13 π}{10}$

Paso 1.2.10.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 2 \frac{13 π}{10}$

Paso 1.2.10.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.10.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.10.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $10$ .

$x = 2 \frac{13 π}{2 (5)}$

Paso 1.2.10.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$x = 2 \frac{13 π}{2 \cdot 5}$

Paso 1.2.10.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{13 π}{5}$

Paso 1.2.11

Obtén el período de $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ .

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Paso 1.2.11.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 1.2.11.2

Reemplaza $b$ con $\frac{1}{2}$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Paso 1.2.11.3

$\frac{1}{2}$ es aproximadamente $0.5$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Paso 1.2.11.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \cdot 2$

Paso 1.2.11.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 π$

Paso 1.2.12

El período de la función $\cos (\frac{1}{2} x + \frac{π}{5})$ es $4 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $4 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{5} + 4 π n, \frac{13 π}{5} + 4 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.2.13

Consolida las respuestas.

$x = \frac{3 π}{5} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 1.3

Intersección(es) con x en forma de punto.

Intersección(es) con x: $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2

Obtén las intersecciones con y.

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Paso 2.1

Para obtener la(s) intersección(es) con y, sustituye $0$ por $x$ y resuelve para $y$ .

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Paso 2.2

Resuelve la ecuación.

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Paso 2.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{π}{5})$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$

Paso 2.2.3

Simplifica $- \cos (\frac{1}{2} \cdot (0) + \frac{π}{5})$ .

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Paso 2.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$y = - \cos (0 + \frac{π}{5})$

Paso 2.2.3.2

Suma $0$ y $\frac{π}{5}$ .

$y = - \cos (\frac{π}{5})$

Paso 2.2.3.3

Evalúa $\cos (\frac{π}{5})$ .

$y = - 1 \cdot 0.80901699$

Paso 2.2.3.4

Multiplica $- 1$ por $0.80901699$ .

$y = - 0.80901699$

Paso 2.3

Intersección(es) con y en forma de punto.

Intersección(es) con y: $(0, - 0.80901699)$

Paso 3

Enumera las intersecciones.

Intersección(es) con x: $(\frac{3 π}{5} + 2 π n, 0)$ , para cualquier número entero $n$

Intersección(es) con y: $(0, - 0.80901699)$

Paso 4