Precálculo Ejemplos

$\sin (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1

Multiply each term by a factor of $1$ that will equate all the denominators. In this case, all terms need a denominator of $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 2$

Paso 3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin (2 θ)$ .

$\frac{2 \sin (2 θ)}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Simplifica $\sin (2 θ) \cdot \frac{2}{2}$ .

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Paso 4.1

Divide $2$ por $2$ .

$\sin (2 θ) \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 4.2

Multiplica $\sin (2 θ)$ por $1$ .

$\sin (2 θ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 5

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$2 θ = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$2 θ = \frac{π}{3}$

Paso 7

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 7.3.2

Multiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 7.3.2.1

Multiplica $\frac{π}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Paso 7.3.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Paso 8

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$2 θ = π - \frac{π}{3}$

Paso 9

Resuelve $θ$

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Paso 9.1

Simplifica.

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Paso 9.1.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 θ = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.1.2

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$2 θ = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 9.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 θ = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 9.1.4

Resta $π$ de $π \cdot 3$ .

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Paso 9.1.4.1

Reordena $π$ y $3$ .

$2 θ = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 9.1.4.2

Resta $π$ de $3 \cdot π$ .

$2 θ = \frac{2 \cdot π}{3}$

Paso 9.2

Divide cada término en $2 θ = \frac{2 \cdot π}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 9.2.1

Divide cada término en $2 θ = \frac{2 \cdot π}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Paso 9.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Paso 9.2.2.1.2

Divide $θ$ por $1$ .

$θ = \frac{\frac{2 \cdot π}{3}}{2}$

Paso 9.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 9.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$θ = \frac{2 \cdot π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot π$ .

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 9.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 10

Obtén el período de $\sin (2 θ)$ .

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Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $2$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 π}{2}$

Paso 10.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 11

El período de la función $\sin (2 θ)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$