Precálculo Ejemplos

$x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2} = 0$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d y} (0)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} y - x y^{2} + x^{2} + y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x^{2}$ y $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.5

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.2.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- x y^{2}$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

$x^{2} + 2 y x x' - \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = x$ y $g (y) = y^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x \frac{d}{d y} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.4

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (x (2 y) + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.3.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Paso 2.4.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = y^{2}$ y $g (y) = x$ .

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Paso 2.4.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.4.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 u_{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.4.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.4.2

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y + y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 y x x' - (2 x y) - (y^{2} x') + 2 x x' + 2 y$

Paso 2.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Paso 2.6.3

Reordena los términos.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y$

Paso 3

Como $0$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$x^{2} + 2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = 0$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $x'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.1.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y x' - 2 x y - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2}$

Paso 5.1.2

Suma $2 x y$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' + 2 y = - x^{2} + 2 x y$

Paso 5.1.3

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Paso 5.2

Factoriza $x'$ de $2 x y x' - y^{2} x' + 2 x x'$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $x'$ de $2 x y x'$ .

$x' (2 x y) - y^{2} x' + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x'$ de $- y^{2} x'$ .

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + 2 x x' = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Paso 5.2.3

Factoriza $x'$ de $2 x x'$ .

$x' (2 x y) + x' (- y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Paso 5.2.4

Factoriza $x'$ de $x' (2 x y) + x' (- y^{2})$ .

$x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Paso 5.2.5

Factoriza $x'$ de $x' (2 x y - y^{2}) + x' (2 x)$ .

$x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$

Paso 5.3

Divide cada término en $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ por $2 x y - y^{2} + 2 x$ y simplifica.

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Paso 5.3.1

Divide cada término en $x' (2 x y - y^{2} + 2 x) = - x^{2} + 2 x y - 2 y$ por $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Cancela el factor común de $2 x y - y^{2} + 2 x$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x' (2 x y - y^{2} + 2 x)}{2 x y - y^{2} + 2 x} = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{- 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x^{2}}{2 x y - y^{2} + 2 x} + \frac{2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y}{2 x y - y^{2} + 2 x} - \frac{2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x' = \frac{- x^{2} + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.3

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$x' = \frac{- (x^{2}) + 2 x y - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $2 x y$ .

$x' = \frac{- (x^{2}) - (- 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 y$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - 2 x y) - (2 y)$ .

$x' = \frac{- (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.3.2.8.1

Reescribe $- (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ como $- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)$ .

$x' = \frac{- 1 (x^{2} - 2 x y + 2 y)}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 5.3.3.2.8.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x^{2} - 2 x y + 2 y}{2 x y - y^{2} + 2 x}$