Precálculo Ejemplos

$y = \frac{3 x + 2}{4 x - 7}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{3 x + 2}{4 x - 7})$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ es $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ donde $f (y) = 3 x + 2$ y $g (y) = 4 x - 7$ .

$\frac{(4 x - 7) \frac{d}{d y} [3 x + 2] - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x + 2$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{(4 x - 7) (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $y$ es $3 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + \frac{d}{d y} [2]) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x' + 0) - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1

Suma $3 x'$ y $0$ .

$\frac{(4 x - 7) (3 x') - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.5.2

Mueve $3$ a la izquierda de $4 x - 7$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 7) x' - (3 x + 2) \frac{d}{d y} [4 x - 7]}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 7$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (\frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.7

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $y$ es $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.8

Reescribe $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.9

Como $- 7$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x' + 0)}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.10.1

Suma $4 x'$ y $0$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - (3 x + 2) (4 x')}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.10.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11

Simplifica.

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Paso 3.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(3 (4 x) + 3 \cdot - 7) x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x + 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' + (- 4 (3 x) - 4 \cdot 2) x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (4 x) x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.11.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.11.5.1.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 x x' + 3 \cdot - 7 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.5.1.2

Multiplica $3$ por $- 7$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 4 (3 x) x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.5.1.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 4 \cdot 2 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.5.1.4

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$\frac{12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.5.2

Combina los términos opuestos en $12 x x' - 21 x' - 12 x x' - 8 x'$ .

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Paso 3.11.5.2.1

Resta $12 x x'$ de $12 x x'$ .

$\frac{0 - 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.5.2.2

Resta $21 x'$ de $0$ .

$\frac{- 21 x' - 8 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.5.3

Resta $8 x'$ de $- 21 x'$ .

$\frac{- 29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 3.11.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$1 = - \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$

Paso 5

Resuelve $x'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ .

$- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$

Paso 5.2

Divide cada término en $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.1

Divide cada término en $- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.2.2

Divide $\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}}$ por $1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Divide $1$ por $- 1$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} = - 1$

Paso 5.3

Multiplica ambos lados por ${(4 x - 7)}^{2}$ .

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.1

Cancela el factor común de ${(4 x - 7)}^{2}$ .

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Paso 5.4.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{29 x'}{{(4 x - 7)}^{2}} {(4 x - 7)}^{2} = - {(4 x - 7)}^{2}$

Paso 5.4.1.2

Reescribe la expresión.

$29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$

Paso 5.5

Divide cada término en $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ por $29$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $29 x' = - {(4 x - 7)}^{2}$ por $29$ .

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $29$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{29 x'}{29} = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- {(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x' = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$

Paso 6

Reemplaza $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{{(4 x - 7)}^{2}}{29}$